反比例函数
一、基础知识
1. 定义：一般地，形如x
k
y =
（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

(自变量x 的取值: o x ≠) 2. 反比例函数的等价形式：
① x
k
y = （ o k ≠） ②kx y =1-(o k ≠) ③xy=k(o k ≠)
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像:
①反比例函数的图像是双曲线，由两条曲线组成。

②双曲线永远不与坐标轴相交，但无限靠近坐标轴。

③反比例函数的图像是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=），也是中心对称图形（原点）。

4
5. 反比例函数解析式的确定：①利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）②k 的几何意义。

6．反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k
y =
（0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

7. 反比例函数的应用
二、例题
【例1】如果函数2
22
-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限，那么的值是
多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x
k y =
，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：
⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=
-=0211k k k 或
1-=∴k
1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x
y 1
-=
【例2】在反比例函数x y 1
-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）
A ．213y y y >>
B ．123y y y >>
C ．321y y y >>
D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得111x y -
=，2
21x y -=，331x y -=
3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A
解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x
y 1
-=的图像
描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法
213321321321,1,1,2
1
1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令
【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x
m
n y m n mx y -=≠+=30相交于点（22
1，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）
【解析】
⎩⎨
⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132
212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩
⎪
⎨⎧=+==+=∴2
211
11121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为 ()11--∴，另一个点为
【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线x
m
y =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.
图
解:因为直线m x y +=与双曲线x
m
y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A
A A A x m
y m x y =
+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,.
所以m y x AB OB S A A AOB 2
1
2121==•=
∆.而已知2=∆AOB S . 所以4=m . 三、练习题
1.反比例函数x
y 2
-=的图像位于（ ）
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、三象限
D ．第二、四象限
2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）
A 、正比例函数
B 、反比例函数
C 、一次函数
D 、不能确定
A B C D
3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）
4.某气球充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 )
的反比例函数，其图象如图所示．当气球气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A 、不小于54m 3
B 、小于54m 3
C 、不小于45m 3
D 、小于
45
m 3
5．如图 ，A 、C 是函数x
y 1
=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt ΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ）
A ． S 1 ＞S 2
B ． S 1 <S 2
C ． S 1=S 2
D ． S 1与S 2的大小关系不能确定
6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1
n x
+的图象都经过点A （-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；
（3）△AOB 的面积．
7. 如图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x
的图象交于A 、B
两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（1
2
，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值围．
8．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？
10．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数m
y x
=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。

四、课后作业
1．对与反比例函数x
y 2
=
，下列说法不正确的是（ ） A ．点（1,2--）在它的图像上 B ．它的图像在第一、三象限 C ．当0>x 时，的增大而增大随x y D ．当0<x 时，的增大而减小随x y 2.已知反比例函数()0k
y k x
=≠的图象经过点（1，-2）
，则这个函数的图象一定经过（ ）
A 、（2，1）
B 、（2，-1）
C 、（2，4）
D 、（-1，-2）
3．在同一直角坐标平面，如果直线x k y 1=与双曲线x
k
y 2=没有交点，那么1k 和
2k 的关系一定是（ ）
A. 1k +2k =0
B. 1k ·2k <0
C. 1k ·2k >0
D.1k =2k
4. 反比例函数y ＝k x
的图象过点P （－1.5，2），则k ＝________． 5. 点P （2m －3，1）在反比例函数y ＝1
x
的图象上，则m ＝__________．
6. 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3）则m 的值为__________．
7. 已知反比例函数x m
y 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，
有21y y <，则m 的取值围是？
8.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：
(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值； (3)y ＝-2时，x 的值。

9. 已知3=b ,且反比例函数x b
y +=
1的图象在每个象限，y 随x 的增大而增大,如果点()3,a 在双曲线上x
b
y +=1，求a 是多少？。