人教版九年级数学反比例函数知识点归纳
本文介绍了新人教版九年级数学下册第26章反比例函数的知识点和研究目标。

其中，重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用。

难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。

基础知识包括反比例函数的概念和反比例函数的图象。

反比例函数的图象与x轴、y轴无交点，称取点关于原点对称。

反比例函数的图象的形状是双曲线，与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

图象关于原点对称，对称性是反比例函数的重要性质。

如图1所示，设点P（a，b）在双曲线上。

作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积等于三角形PAO和三角形PBO的面积之和。

由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上。

作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积为（图2）。

需要注意的是，双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

直线与双曲线的关系有两种情况：一种是两图象必有两个交点，另一种是两图象没有交点；当有交点时，这两个交点关于原点成中心对称。

反比例函数与一次函数有联系。

求函数解析式的方法有两种：待定系数法和根据实际意义列函数解析式。

需要注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上。

在解决问题时，可以充分利用数形结合的思想。

对于例题，若y是x的反比例函数，则应选C或A。

对于已知函数的图象在第二、四象限内和y随x的增大而减小的情况，可以求出k的值。

已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限时，可以确定它的图象位于第三象限。

若反比例函数经过点（a，b），则直线不经过的象限为第四象限。

若P （2，2）和Q（m，n）是反比例函数图象上的两点，则一次
函数y=kx+m的图象经过第一、三、四象限。

对于函数的增减
性问题，需要分别讨论。

y轴作垂线，得到三个小矩形和一个三角形，它们的面积
之和为20平方单位，求函数的解析式．
2）已知函数y=f(x)的图象如图所示，其中ABCD为一矩形，E为函数图象上一点，且E在ABCD内部．若矩形
ABCD的长为4，宽为2，求函数的解析式．
答案：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，由题意可列出
方程组：
a+b+c=5
4a+2b+c=20
16a+4b+c=80
解得a=2，b=-4，c=7，因此函数的解析式为y=2x²-4x+7．2）设函数解析式为y=f(x)=kx+m，由题意可得：
f(0)=m=2
f(2)=2k+m=4
f(4)=4k+m=0
解得k=-1/2，m=2，因此函数的解析式为y=-1/2x+2．
1) 在图中，通过每个点作两条垂线段，分别与x轴和y轴围成一个矩形。

这些矩形的面积分别为（），因此答案为D。

2) 在图中，连接AB、AC，可以得到△ABC。

由于AC//y 轴，BC//x轴，因此△ABC是一个以AB为直角边的直角三角形。

根据勾股定理，AB的平方等于AC的平方加BC的平方，即（）。

因此，△XXX的面积为2，答案为C。

3) 在图中，由于△AOB是直角三角形，因此它的面积等
于底乘高的一半，即（）。

又因为S△AOB=3，因此m的值
满足（）。

解得m=6，答案为6.
4) 在图中，矩形OQ1P1R1的周长为2P1Q1+2P1R1，矩
形OQ2P2R2的周长为2P2Q2+2P2R2.由于P1、P2分别在y=x
和y=2x上，因此它们的坐标分别为（a，a）和（b，2b）。

因此，P1Q1和P2Q2的长度分别为a，P1R1和P2R2的长度分别为2b。

代入公式，可以得到矩形OQ1P1R1的周长为4a，矩
形OQ2P2R2的周长为6b。

因为a<b，所以4a<6b，即前者的
周长小于后者的周长，答案为前者小于后者。

5) 在图中，点A、C分别在正比例函数和反比例函数的图象上，因此它们的坐标分别为（a，ka）和（k/a，a）。

连接AC，可以得到△ABC。

由于AC是一个以y轴为直角边的直
角三角形，因此它的面积等于AB乘BC的一半，即（）。

因此，△XXX的面积为k/2，答案为k/2.
6) 在图中，双曲线的解析式为y=1/x，直线的解析式为
y=x-2.由于直线与x轴的交点为（2，0），因此直线与y轴的
交点为（0，-2）。

又因为△ABO的面积为2，因此OB的长
度为（）。

由于AB⊥x轴，因此AB的斜率为（）。

代入点
斜式公式，可以得到直线的解析式为y=-x+2.直线与双曲线的
交点满足方程y=1/x和y=-x+2，解得它们的坐标分别为（1，1）和（2/3，4/3）。

因此，△AOC的面积等于底乘高的一半，即（）。

答案为6.
7) 在图中，点B在函数y=kx（k>0）的图象上，因此它
的坐标为（b，kb）。

又因为正方形OABC的面积为9，因此AB的长度为3.由于B在函数y=kx上，因此kb=k/b，即
k=b^2.因此，函数的解析式为y=x^2.过点P作x轴和y轴的垂线，可以得到矩形OEPF的长和宽分别为m和n/b。

因此，矩
形OEPF的面积为mn/b。

由于正方形OABC的面积为9，因
此BC的长度为3.又因为B在函数y=x^2上，因此b^2=3，即
b=√3.因此，k=3.点P在函数y=x^2的图象上，因此它的坐标
为（m，m^2）。

过P作x轴和y轴的垂线，可以得到矩形OEPF的长和宽分别为m和m^2/√3.因此，矩形OEPF的面积
为m^3/√3.因为矩形OEPF在正方形OABC以外的部分，所以
S=9-m^3/√3.答案为①B（3，3），k=3；②P（m，m^2），E （m，0），F（0，m^2/√3），△AOC的面积为6；③S=9-
m^3/√3.
1）无需改写。

2）求一次函数和反比例函数的解析式，以及使一次函数
的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

3）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1.
①求点A、B、D的坐标；
点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，1），点D
的坐标为（1，k）。

②求一次函数和反比例函数的解析式。

一次函数的解析式为y=kx+1，反比例函数的解析式为
y=k/x。

4）一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）。

①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
反比例函数的解析式为y=m/x，m=2.
②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面
积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，
说明理由。

存在点P（2，2），证明如下：
由于OC与OD分别是一次函数和反比例函数的图象，且
在第一象限交于C、D两点，则OC和OD的斜率分别为k和m，即OC的解析式为y=kx，OD的解析式为y=m/x。

设点P的坐标为（x，y），则有：
begin{cases}y=kx\\y=\frac{m}{x}\end{cases}$$
解得$x=2$，$y=2$，即点P的坐标为（2，2）。

又因为△POC和△POD的底边分别是OC和OD，高相等，所以它们的面积相等。

5）不解方程，判断下列方程解的个数。

①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解。