函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形． 二、方法归纳1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集（即对x ∈D 就有－x ∈D ），是其具有奇偶性的必要条件．2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数．3.判断函数的奇偶性应把握：① 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性． ② 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 即)(x f ＝)(x F ＋)(x G ，其中)(x F ＝2)()(x f x f -+为偶函数， )(x G ＝2)()(x f x f --为奇函数．5.奇（偶）函数性质的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-； 三、典型例题精讲［例1］（1）函数)(x f ＝111122+++-++x x x x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝1对称解析：由=-)(x f 111122+-+--+x x x x ， ∴ =-)(x f ＝11111122+++-++xx xx ＝)1(1)1(122x x x x +++++- ＝－)(x f∴ )(x f 是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数． （2）分段函数奇偶性的判定又例：函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性． 解析：当0>x 时，0<-x3)(2)()(2+-+-=-x x x f ＝322+-x x ＝)(x f -；当0<x 时，0>-x3)(2)()(2--+--=-x x x f ＝322---x x ＝)(x f -∴)(x f 是奇函数．［例2］已知)(x f 是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断)(x f 在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数)(x f 在(－∞，0）上是增函数．设x 1＜x 2＜0，因为)(x f 是偶函数，所以)(1x f -＝)(1x f ，)(2x f -＝)(2x f ，由假设可知－x 1＞－x 2＞0，又已知)(x f 在(0，＋∞)上是减函数，于是有)(1x f -＜)(2x f -， 即)(1x f ＜)(2x f ，由此可知，函数)(x f 在(－∞，0)上是增函数．【技巧提示】 具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性．“偶函数半增半减，奇函数一增全增”．［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系紧密．又例：偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合． 解析：偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．根据图象的对称性，)3(+x f ＞)1(-x f 等价于|3|+x ＞|1|-x ．解之，1->x ，∴ 满足条件的x 的集合为（－1，＋∞）．［例4］设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )A ．0.5B ． －0.5C ． 1.5D ． －1.5解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－)5.1(f ＝－)25.0(+-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－0.5．答案：B【技巧提示】 这里反复利用了)(x f ＝－)(x f 和)2(+x f ＝－)(x f ，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．又例：如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较)31(f ，)32(f ，)1(f 的大小关系_________． 解析：∵)(x f 为R 上的奇函数，∴ )31(f ＝－)31(-f ，)32(f ＝－)32(-f ，)1(f ＝－)1(-f ，又)(x f 在(－1，0)上是增函数且－31＞－32＞－1． ∴ )31(-f ＞)32(-f ＞)1(-f ，∴ )31(f ＜)32(f ＜)1(f ．答案：)31(f ＜)32(f ＜)1(f ．［例5］函数)(x f 的定义域为D ＝{}0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （1）求(1)f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；解：（1）令121x x ==，得()10f =；（2）令121x x ==-，得()10f -=，令121,x x x =-=，得()()()1f x f f x -=-+∴ ()()f x f x -=，即)(x f 为偶函数．【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．［例6］已知函数)(x f 在(－1，1)上有定义，)21(f ＝－1，当且仅当0＜x ＜1时)(x f ＜0，且对任意x 、y ∈(－1，1)都有)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，试证明： (1) )(x f 为奇函数；(2) )(x f 在(－1，1)上单调递减． 证明：(1) 由)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，令x ＝y ＝0，得)0(f ＝0， 令y ＝－x ，得)(x f ＋)(x f -＝)1(2x xx f --＝)0(f ＝0，∴ )(x f ＝－)(x f -， ∴)(x f 为奇函数． (2)先证)(x f 在(0，1)上单调递减．令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (21121x x x x --)∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，∴21121x x x x --＞0，又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1+1)＜0 ∴x 2－x 1＜1－x 2x 1， ∴0＜21121x x x x --＜1，由题意知f (21121x x x x --)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴ )(x f 在(0，1)上为减函数，又)(x f 为奇函数且f (0)＝0．∴)(x f 在(－1，1)上为减函数．【技巧提示】 这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如(0),(1),(2)f f f ±±等等，一般(0)f 的求解最为常见．赋值技巧常为令0==y x 或y x -=等。

本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定21121x x x x -- 的围是解题的焦点．练习一、选择题1．函数f (x )＝(x －1)·1＋x1－x，x ∈(－1,1)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．是非奇非偶函数 答案：B解析：∵x ∈(－1,1)，∴x －1＜0.∴f (x )＝(x －1)·1＋x1－x＝－ 1－x 2.∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．故选B. 2．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 答案：C解析：∵f (x )＝1x－x 是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，故选C.3．下列说法错误的个数为( )①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图象一定过坐标原点； ④偶函数的图象一定与y 轴相交． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：C解析：由奇、偶函数的性质，知①②说确；对于③，如f (x )＝1x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f (x )＝1x2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y 轴相交，所以④说法错误．故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A ．(－3，－2) B ．(3,2) C ．(2，－3) D ．(3，－2) 答案：D解析：∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝2，∴f (3)＝－2，故选D.5．设函数y ＝f (x )在区间D 上是奇函数，函数y ＝g (x )在区间D 上是偶函数，则函数H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上是( ) A ．偶函数 B ．奇函数 C ．即奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 答案：B解析：由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，g (x )是偶函数得g (－x )＝g (x )，H (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－H (x )，所以H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上为奇函数．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( ) A ．－13 B.13 C ．0 D ．1答案：B解析：由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b ＝0. 所以a ＋b ＝13.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案：(－2,0)∪(2,5]解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f (x )＜0 的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．8.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.)解析：令x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.)9．已知f (x )在[a ，b ]上是奇函数，且f (x )在[a ，b ]上的最大值为m ，则函数F (x )＝f (x )＋3 在[a ，b ]上的最大值与最小值之和为________． 答案：6解析：因为奇函数f (x )在[a ，b ]上的最大值为m ，所以它在[a ，b ]上的最小值为－m ，所以函数F (x )＝f (x )＋3在[a ，b ]上的最大值与最小值之和为m ＋3＋(－m ＋3)＝6，故选D.10．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，则m －n 的值为________． 答案：94解析：∵x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数，∴当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2. 故当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋3x －2. ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f (x )是增函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，f (x )是减函数． 因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94.三、解答题（共3小题，每题10分，共30分） 11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋1|； (2)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＜－10，|x |≤1－x ＋2，x ＞1.解：(1)函数f (x )的定义域为R ，定义域关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －1|－|－x ＋1|＝|x ＋1|－|x －1|＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)函数f (x )的定义域为R ，定义域关于原点对称． 当x ＜－1时，－x ＞1，f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )； 当|x |≤1时，|－x |≤1，f (－x )＝0＝f (x )；当x ＞1时，－x ＜－1，f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )． 所以对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数． 12.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2. (1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．因此，f (x )＝x 2＋2x －2.又∵f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ＜0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋2，x ＞0.(2)先画出y ＝f (x )(x ＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x ＜0)的图象，其图象如图 所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并且证明你的结论．解析：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧a ×0＋b1＋02＝0，a 2＋b 1＋14＝25，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 1＋x 2.(2)任意x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 11＋x 22－x 21＋x 211＋x 211＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2＞0，从而f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )在(－1,1)上是增函数．。