P是锐角AOB内部任意一点，在∠AOB的两边OA，OB上各取 一点Q，R，组成三角形，使三角形PQR周长最小。(如图所示)
C· A
Q
O
P·
R
D·
B
直接利用两点之间线段最短求最短路线
• 1、如图C为线段BD上一动点分别过点B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD连接AC、EC已知AB=5， DE=1，BD=8，设CD为x，
____________㎝（结果不取近似值A ）.
D
2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD
中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2， BC=DC=5，点P在BC上移动，则当
P·
PA+PD取最小值时，△APD中边AP上
的高为（
）
B
Q· C
A、
B、
C、
D、3
（动点，作A关于BC的对称点A‘，连A’D交 BC于P，涉及勾股定理及相似）
• （1）试用x的代数式表示AC+CE的长 • （2）请问点C满足什么条件时，AC+CE值最小？ • （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数
式 x2 4 （12 - x)2 9的最小值 A
D B
C E
造桥选址问题：
• A、B两点位于一条河的两岸，假定河的两 岸笔直且平行如图，先要在河上垂直于河 岸修建一座桥，问桥建在何处，才能使由A 点经过这座桥到B点的路程最短？
；
解：作点B关于AC的对称点 B′，过B′作B′N⊥AB于N， 交AC于M．此时BM+MN的 值最小．BM+MN=B′N．
立体图形上最短路线问题
•方法：曲面变平面。
11．如图3,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B离点C的距 离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要 爬行的最短距离是:
• 解题总思路----找点关于线的对称点实现 “折”转“直”，近两年出现“三折线” 转“直”等变式问题考查。
类型一：饮马问题原型
A·
B·
A'·
类型一：动点在一条直线上
• 1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD
中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动
点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “点关于线对称”，“线段的平移”。 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是 “饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、 正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近 两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
A.
B.25 C.10
D.35
方法：曲面变平面。
练习：如图，已知：圆锥的底面半径为 ，母线 SA长为2，M为SA的中点，有一根绳子从A点出发， 沿圆锥的侧面绕一周到达M点，问绳子最短是多少？
• 在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值 为最小，人们称这个点为“费马点”．
• 1． 当三角形有一个内角大于或等于120° 的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
• 我想试试
•
罗赛蒂
• 那个说“我想试试”的小孩
• 他将登上山巅，
• 那个说“我不成”的小孩，
• 在山下停步不前。
• “我想试试”每天办成很多事，
• “我不成”就真一事无成。
• 因此你务必说“我想试试”，
• 将“我不成”弃于埃尘。
不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总化归到 “两点之间线段最短”，而转化的方法大都是借助于 “轴对称点”。或把线段之和化归到“垂线段最短”。
A
·
·B
饮马问题2：
• 如图，某人从A地到河边L饮马，然后沿着
笔直的河边走固定的距离a，最后回到营地
B，此人怎样选择饮马地点，才能使所走的
路程最短？
a
B·
A·
P
A·
类型二：
• 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6 若点P在 边AC上移动，则BP的最小值是（ ）
从直线外一点向这条 直线所引的所有线段 中，垂线段最短
例3：已知：抛物线 y ax2 bx c的对称轴为x=-1,与 x轴
交于 A、B两点，与y 轴交于C点 其中 （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC 的周长最 小．请求出点P的坐标． （3）若点D 是线段 上的一个动点（不与点O、点C重 合）．过点D作 DE∥PC交 x轴于点E 连接PD 、 PE．设CD 的长为 m， △PDE的面积为 S． 求 S与 m之间的函数关系式．试 说明S 是否存在最大值，若存在， 请求出最大值；若不存在，请说
• (1)求D点的坐标； •
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，若过 B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四 边形，试确定此直线的解析式；
• (3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发， 先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的 速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置， 使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述 确定G点位置的方法，但不要求证明)
A
P P
B
C
11、(09陕西) 如图，在锐角△ABC中，AB＝4
，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是 AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____
（2）几何拓展：如图2, △ABC中，AB=2，
∠BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N使
BM+MN的值最小， 这个最小值为
路线最 短问题
两点之间 线段最短
垂线段最短
利用费马 点求最短
定
利用对称性
作垂线段
义
折变直
最短路线问题
• 考查知识点----“两点之间线段最短”， “垂线段最短”，“点关于线对称”， “线段的平移”。
• 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。 考的较多的还是“饮马问题”，出题背景 变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、 梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2． 如果三个内角都在120°以内，那么， 费马点就是三角形内与三角形三顶点的连 线两两夹角为120°的点．
正三角形的费马点刚好是正三角形的中心
• 例2 (2009北京) 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 三个点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)， C(0，4)，延长 AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB，交BC的延长线 于点E．
明理由．
·P
学得怎样？演练一下：
• 一次函数
的图象与x、y轴分别交于点A
（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、 D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并 求取得最小值时P点坐标．
再试试144页：第4题（面对面）
C'
类型二：动点在两条直线上