高中数学不等式的几种常见证明方法摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解.关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式一、比较法所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1ab<”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法.例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+-因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ⋅⋅＞b c a c b c a b c +++⋅⋅.证明：222a b cb c a c b c a b c a b c+++⋅⋅⋅⋅＝222a b c b a c c b c a b c ------⋅⋅＞222a b c b a c c b cc c c ------⋅⋅＝0c ＝1222a b cb c a c b ca b c a b c+++⋅⋅∴⋅⋅＞1 ∴222a b c a b c ⋅⋅＞b c a c b c a b c +++⋅⋅二、分析法分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.例 3 求证3<证明： 960+>>5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法.例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2a b a b +++≥证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 2212a b +≥又 ∵2222221111()()8a b a b a b +=++≥⨯= ∴ 2222221111()()()4()a b a b a b a b +++=++++1254822≥++=．四、反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反证法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾.反证法证明一个命题的思路及步骤： （1） 假定命题的结论不成立；（2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾; （3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; （4） 肯定原来命题的结论是正确的.例 5 已知0,0,a b c ab bc ca abc o ++>++>>，求证：0,0,0.a b c >>> 证明：由0abc >知0a ≠，假设0a <，则0bc < 又因为0a b c ++>，所以0b c a +>->，即()0a b c +< 从而()0ab bc ca a b c bc ++=++<，与已知矛盾.∴ 假设不成立，从而0a >同理，可证0,0b c >> 五、放缩法放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的.例 6 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证3a b cb c a c a b a b c++≥+-+-+-证明：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+ 且20c a b --≤， 20a b c --≥ ∴3111a b c a b cb c a c a b a b c b c a c a b a b c++-=-+-+-+-+-+-+-+-+-222a b c b a c c a b b c a c a b a b c------=++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--b a c ba cb ac a c b b a c c b a∴3a b cb c a c a b a b c++≥+-+-+-六、数学归纳法对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立.例 7 证明：222,.n n n N ++>∈证明：（1）当1n =时，左边=1224+=；右边=1，左边>右边.所以原不等式成立. 当n =2时，左=2226+=，右=22=4，所以左>右； 当n =3时，左=32210+=，右=23=9，所以左>右. 因此当1,2,3n =时，不等式成立.（2）假设当n k =（3k ≥且k N ∈）时，不等式成立.即222k k +>. 因为()1222222222222k k k k ++=⋅+=+->-=222123k k k k +++--=()()()22113k k k k ++++- （因3k ≥，则30k -≥，10k +>） 221k k ≥++()21k =+所以，()21221k k ++>+.故当1n k =+时，原不等式也成立. 根据（1）和（2），原不等式对于任何n N ∈都成立. 七、换元法在证明过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明得到简化.例 8 已知,,a b R ∈且221,a b +≤求证：222a ab b +-≤. 证明：设cos ,sin ,a r b r θθ==其中[)1,0,2r θπ≤∈则222a ab b +-=22222cos 2sin cos sin r r r θθθθ+- =22cos 2sin 2r r θθ+=2sin 24πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭∴222a ab b +-≤原不等式得证.例 9 已知：1=++c b a ，求证：31≤++ca bc ab . 证明：设t a -=31，)(31R t at b ∈-=，则t a c )1(31++=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++t a t t a at at t ca bc ab )1(3131)1(31313131,31)1(3122≤++-=t a a所以 31≤++ca bc ab 例 10 已知,a b R ∈且1a b +=，求证：()()2225222a b +++≥ 证明：因为,a b R ∈且1a b += 所以设()11,22a tb t t R =+=-∈ 则()()222211222222a b t t ⎛⎫⎛⎫+++=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=225522t t ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22525222t +≥ 即()()2225222a b +++≥ 原不等式成立. 八、利用均值不等式均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“（一正、二定，三相等）.均值不等式公式：①222,(,)a b ab ab ab a b R +≥=+∈（当且仅当a b =时取“=”）；②,)a b a b R ++≥=∈（当且仅当a b =时取“=”）.例 11 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>6abc. 证明： ∵ b 2+c 2≥2bc , a >0, ∴ a (b 2+c 2)≥2abc 同理，b (c 2+a 2)≥2bac, c (a 2+b 2)≥2cab , 又 因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中等号不能同时成立， 因此 a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc .例 12 若,0,2x y x y >+=，求证：112x y +=证明：因为,0,x y >所以11111()()2x y x y x y+=++1(11)22y xx y=+++≥ 当且仅当y xx y+，即1,1x y ==时等号成立 九、导数法当x 属于某区间，有0)(≥'x f ，则)(x f 单调递增；若0)(≤'x f ，则)(x f 单调递减.推广之，若证)()(x g x f ≤，只须证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'即可.例 13 证明不等 x e x +>1，.0≠x证明：设,1)(x e x f x --=则.1)(-='x e x f 故当0>x 时，f x f ,0)(>'递增；当f x f x ,0)(,0<'<递减.则当0≠x 时， ,0)0()(=>f x f 从而证得 .0,1≠+>x x e x十、利用柯西不等式设,,,a b c d 均为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且ad bc =仅当时成立.例 14 若,0,2x y x y >+=，求证：112x y+=分析：此题在前面可用均值不等式解，这儿也可以用柯西不等式解.证明：11111()()2x y x y x y+=++22≥≥当且仅当=1,1x y ==时等号成立 十一、 在不等式两端取变限积分证明新的不等式例 15 证明:0>x 时，1206sin 6533x x x x x x +-<<-．证明：已知1cos ≤x ,(0>x 时只有πn x 2=时等号成立),在此式两端同时取[]x ,0上的积分得x x <sin )0(>x ,对得到的不等式取[]x ,0上的积分得到2cos 12x x <-)0(>x ,第三次取在[]x ,0上的积分得6sin 3x x x <-)0(>x即x x x sin 63<-)0(>x ，继续在[]x ,0上积分两次即可得1206sin 53x x x x +-<,所以1206sin 6533x x x x x x +-<<-．结束语：不等式知识在高中尤为重要，在学术上也有很大的研究的余地，本文只是浅显的举例说明了一些关于不等式的内容，更深层的知识有待学者继续研究.参考文献：[1] 傅荣强，于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社，2007：58—88[2] 胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯,2001(9).[3] 王胜林,卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯,2004(11).[4] 普片多，例谈中学不等式的证明方法.西南大学数学与统计学院（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。