b a B A O a -b 平面向量基础知识
1．向量的概念
(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量．
(2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |．
注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量．
(3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念．
①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立．
2．向量运算
(1)加法运算
①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ，
作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB
+BC =AC ．
这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的
三角形法则．
由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作
平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a
与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行
四边形法则．
②运算性质：
a +
b =b +a (交换律)； (a +b )+
c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ．
(2)减法运算
①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量．
记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．)
②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )．
求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB
如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减
法的三角形法则． (3)实数与向量的积：
①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|⋅|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|⋅|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0．
②运算律：
B A
C a +b a b B A C a +b a b
D a b
λ(μa )=(λμ)a ；(λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb ．
3．重要定理、公式
(1)两个向量共线的充要条件
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：
有且只有一个实数λ，使得b =λa ．
(2)如果l 为经过已知点A 、B 的直线，那么对任一点O ，
点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 OP =OA +t AB ． (3)平面向量基本定理
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2．
二、要点提示
1．与向量概念有关的问题
(1)向量不同于数量，数量是只有大小的量(标量)，而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小．
记号“a >b ”错了，而|a |>|b |才有意义．
(2)有些向量与起点有关，有些向量与起点无关．由于一切向量有其共性(大小和方向)，故我们只研究与起点无关的向量(即自由向量)．当遇到与起点有关的向量时，可平移向量．
(3)平行向量(即共线向量)不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件．
(4)零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数．
2．与向量运算有关的问题
(1)向量与向量相加，其和仍是一个向量．
①当两个向量a 和b 不共线时，a +b 的方向与a 、b 都不相同，且|a +b |<|a |+|b |；
②当两个向量a 和b 共线且同向时，a +b 的方向与a 、b 都相同，且|a +b |=|a |+|b |；
③当向量a 和b 反向时，若|a |>|b |，a +b 与a 方向相同，且|a +b |=|a |-|b |；
若|a |<|b |，a +b 与b 方向相同，且|a +b |=|b |-|a |．
(2)向量与向量相减，其差仍是一个向量，向量减法的实质是加法的逆运算．
(3)围成一周首尾相接的向量(有向线段表示)的和为零向量．
A
B P O l。