2
x1
2 2 1 k2
．
1 2k 2
若 k 0 ，则线段
的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意．
k 从而 k 0 ，故直线 C 的方程为 y 1 2k 2
1
2k 2
k x 1 2k 2 ，
则点的坐标为
5k2 2
2 3k 2 1 1 k 2
2, k 1 2k2
，从而
C
．
k 1 2k 2
2 3k 2 1 1 k 2 4 2 1 k2
2
所以点 P 的坐标为 ( 2 , 1 ) ，因此 S1 的最大值为 9 ，此时点 P 的坐标为 ( 2 , 1 ) .
24
S2
4
24
考点： 1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质； 2.直线与圆锥曲线的位置关系； 3. 二次函数
的图象和性质 .
14.【2015 江苏高考， 18】（本小题满分 16 分）
x2 4.【 2016 高考新课标 3 理数】已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： a 2
D． m <n 且 e1e2<1
y2 b2 1(a b 0) 的左
焦点， A, B 分别为 C 的左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF x 轴.过点 A 的直线与线段 PF
交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）
m(2m2 1)2
S2
| PM | | m 2
x0 |
8(4m2
，
1)
所以 S1 S2
2(4m2 1)( m2 1)
，
( 2m2 1)2
令 t 2m2 1，则 S1 S2
(2t 1)(t 1) t2
11 t 2 t 2，
5
1
当
1 ，即 t
2 时，
S1 取得最大值
9 ，此时 m
2
，满足
0，
t2
S2
4
方程与椭圆方程联立方程组，解出 AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出 AB 长，再根据中点
坐标公式求出 C 点坐标，利用两直线交点求出
P 点坐标，再根据两点间距离公式求出
6
PC 长，
利用 PC=2AB解出直线 AB 斜率 ,写出直线 AB 方程 .
（ 2）当
x 轴时，
2 ，又 C 3 ，不合题意．
，
xm
4
即点 M 在定直线 y
1
上.
4
（ ii）由（ i）知直线方程为 y
mx
m2
，
2
令 x 0得 y
m2
m2
，所以 G (0,
)，
2
2
m2
1
2m3
m2
又 P (m,
2
), F (0, ), D 2
( 4m2
1 , 2( 4m2
)， 1)
所以 S1
1 | GF | m 2
1 m(m2 1) ， 4
1
椭圆专题练习
x2
1.【 2017 浙江， 2】椭圆
9
y2 1 的离心率是
4
13
A．
3
5
B．
3
2
C．
3
5
D．
9
x2 2.【 2017 课标 3，理 10】 已知椭圆 C： a 2
y2 b 2 1 ，（ a>b>0）的左、右顶点分别为
A1， A2，
且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为
2
x2 y2 xOy 中， F 是椭圆 a2 b2 1(a＞ b＞ 0) 的 BFC 90 ,则该椭圆的离心率是 .
x2 7.【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C： a 2
y2 b2
=1（ a>b>0），四点
P1（ 1,1），P2（ 0,1），P3（ –1，
1
3
3
）， P4（ 1， ）中恰有三点在椭圆 C 上.
如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x 2 a2
y2 b 2 1 a b 0 的离心率为
2 ，且右焦点 2
F 到左准线 l 的距离为 3. （ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）过 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 点 P， C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程 .
x2 4 ，所以椭圆的方程为
y2
1.
43
（ 2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为 k （ k 0 ），则直线的方程为 y k (x 2) .设 B (xB , yB ) ，由
x2 y2 方程组 4 3 1 ，消去 y ，整理得 (4k2 3) x2 16k 2x 16k 2 12 0 .
y k( x 2)
解得 x
6
A．
3
3
B．
3
2
C．
3
1
D．
3
3.【 2016 高考浙江理数】
已知椭圆
C1：
x2 m2
+y2=1(m >1)与双曲线
C2：
x2 n2
–y2=1(n>0)的焦点重合，
e1，e2 分别为 C1， C2 的离心率，则（）
A． m>n 且 e1e2>1
B． m>n 且 e1e2<1 C． m<n 且 e1e2>1
率.
x2 y2 10.【2017 天津，理 19】设椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为
2
1 .已知 A 是抛物线
y2
2 px( p
0) 的焦点， F 到抛物线的准线的距离为
1
.
2
2
（ I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（ II）设上两点 P ， Q 关于轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ），直线 BQ 与轴
（Ⅱ）如图，动直线： y k1 x
3 交椭圆 E 于 A, B 两点， C 是椭圆 E 上一点，直线 OC 的斜率
2
为 k2 ，且 k1k2
2 ， M 是线段 OC 延长线上一点，且 MC : AB 2:3 ， M 的半径为 MC ，
4
OS,OT 是 M 的两条切线，切点分别为 S,T .求 SOT 的最大值，并求取得最大值时直线的斜
（ A） 1 3
（ B） 1 2
（ C） 2 3
（ D） 3 4
x2 y2
5.【 2015 高考新课标 1，理 14】一个圆经过椭圆
1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半
16 4
轴上，则该圆的标准方程为 .
6.【 2016 高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系
右焦点，直线 y
b 与椭圆交于 B ,C 两点，且
关系，联立方程组求 B ；利用两直线方程组求 H，最后根据 BF HF ， 列等量关系解出直线
斜率 .取值范围
试题解析： （ 1 ）解：设 F (c, 0)，由 1
1
3c
11
，即
3c ，可得
|OF | | OA | | FA | c a a(a c)
a2
c2
3
c
2
，又
a2
c2
b2
3 ，所以 c2 1 ，因此 a2
13.【2016 高考山东理数】（ 本小题满分 14 分 ）
x2 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： a2
y2 b2
1 a＞ b＞0 的离心率是
3
，抛物线
E：x2
2
2y
的焦点 F 是 C 的一个顶点 .
（ I）求椭圆 C 的方程；
（ II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线与 C 交与不同的两点 A，B，线
段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M .
（ i）求证：点 M 在定直线上 ;
3
（ ii）直线与 y 轴交于点
G，记 △PFG 的面积为 S1 ， △ PDM
的面积为
S2 ，求
S1 S2
的最大值及
取得最大值时点 P 的坐标 .
【答案】（ Ⅰ）x2
4y2

1（; Ⅱ）（
因为 C 2 ，所以
k 1 2k 2
，解得 k 1 ． 1 2k2
此时直线
方程为 y x 1或 y x 1．
【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系
15.【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分）
设椭圆 x2 a2
y2 1（ a
3
3 ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知 1
1
3e
，
| OF | | OA | | FA |
(1) 求点 P 的轨迹方程；
(2)设点 Q 在直线 x 3上，且 OP PQ 1 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦
点 F。
x2 y2
2
9【. 2017 山东，理 21】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ：a2
b2
1 a b 0 的离心率为
， 2
焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
7
其中 O 为原点，为椭圆的离心率 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 A 的直线与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于的直线与交于点 M ， 与 y 轴交于点 H ，若 BF HF ，且 MOA MAO ，求直线的斜率的取值范围 .
【答案】（Ⅰ） x2 y2 1 （Ⅱ） ( , 6 ] [ 6 , )