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例1 在 xy 坐标面上求一点 M ，使它的 x 坐标为1， 且与点 (1, 2, 2) 和点 (2, 1, 4) 的距离相等.
解 因为所求点在 xy 坐标面上，所以设该点为 (1, y, 0)
由题意，得
(1 1)2 ( y 2)2 (0 2)2 (1 2)2 ( y 1)2 (0 4)2
x
xz面上点的坐标为(x, 0, z)
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二. 空间两点间的距离
给定空间两点 M1 ( x1 , y1 , z1 )与 M2 ( x2 , y2 , z2 )，可证明这两点 间的距离 d 为
d M1M2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的. 过 M1, M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 这六个平面围成一个以 M1M2 为对角线的长方体; (如下图)
任一点M和一个三元有序数组(x, y, z)建立了一一对应关系.
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由以上规定知道:
坐标原点O的坐标为(0, 0, 0)
z
x轴上点的坐标为(x , 0, 0)
y轴上点的坐标为(0, y, 0)
z轴上点的坐标为(0, 0, z)
y
xy面上点的坐标为(0, y, z)
d M1M2
(x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
M1
特别地, 空间任一点M(x, y, z) x2 O
到原点O的距离为:
x1
x
m1
OM x2 y2 z2
M2
d
M3
y1
y2
y
m3
例 已知两点(–1, 0, 2),(3, –2, 4)，求此两点间的距离.
解 d (3 1)2 (2 0)2 (4 2)2 24 2 6
y、z称为点M的横坐标 、纵坐标及
z
R
竖坐标,记为M (x, y, z).
z
反之, 对于任给的三元有序数组(x, y, z), O x
可依次在 x 轴、y轴、z轴上分别 x P
M
y
Qy
找出坐标为x、 y、z 的三点P、Q、R.
然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴、y轴、z轴, 这
三个平面的交点M, 就是以数组(x, y, z)为坐标的点.这样空间
本章将在一元函数微分法的基础上, 来研究多元函数的微 分法. 因为从一元函数到二元函数将会面临一些新问题, 而 从二元函数到二元以上的多元函数, 可完全类推.
故本章主要研究二元函数的微分法及其应用.要研究多元函 数, 需首先介绍一些空间解析几何知识. 现就必备知识作简单 介绍.
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§7.1 空间解析几何基本知识
解得 y 5, 于是所求点为(1, 5, 0).
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三. 空间曲面与方程
z
1. 曲面的一般方程 与平面解析几何相仿, 空间解析几何
利用空间坐标法, 把由点构成的几何
M(x,y,z)
S
y
O
D
x
P(x,y)
图形和代数方程联系起来.
由平面解析几何知识知，在平面直角坐标系中图形和代数
方程之间有如下联系.
yz平面及 zx平坐标面;且它们将空间分割成八个部分, 称每一个 部分为一个卦限.
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把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图:
z
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ Ⅰ
Ⅵy
xⅧ
Ⅴ
在xy坐标平面的上部, 依次称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限.
在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第Ⅴ卦限;
以后依次称为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
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在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数
(1) 曲面 Σ 上的任意点 的坐标都满足方程 (7.1.3); (2) 不在曲面 Σ 上的点的坐标都不满足方程 (7.1.3); 则称方程(7.1.3)是曲面 Σ的一般方程,而曲面 Σ 是方程(7.1.3)
的图形. (如图7.1.5）
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图7.1.5
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2．常见曲面 1) 平面
例2 一动点M( x, y, z)与两定点 A(1, 2, 3) 和 B(2, －1, 4) 的距离相等, 求此动点M的轨迹方程.
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向xy面投影,并设 M1, M2点 在xy面的垂足各为 m1, m3 .
z
M2
d
M1
M3
y1
x2
O
x1
x
m1
y2 m3 y
则 M1 M2 2 M1 M3 2 M2 M3 2 m1m3 2 M2 M3 2
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而 m1m3 2 x2 x1 2 y2 y1 2
z
且 M2 M3 2 z2 z1 2
组(x, y, z)之间的对应关系.
对于空间中的任意点M，过点M作三个平面分别垂直于三条
坐标轴. 且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、 R. (如图)
z
P、Q、R三点在三个坐标轴上的坐标
R
依次为x、y、z ;这样空间的点
z
M就唯一确定了一个三元有序数组
O
(x, y, z).
x
xP
M
y
Qy
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并把有序数组(x, y, z) 称为点M的空间直角坐标,并依次把 x、
的正方向, 就构成一个空间直角坐标系, 并 记为 oxyz.
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其几何直观, 如下图:
z 竖轴
在空间直角坐标系 oxyz 中, 点O 称为坐标原点; ox、oy及oz 分别
称为x轴(横轴) 、y轴(纵轴)及z轴(竖轴), 并统称为坐标轴.
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2 1 21 O 1 2 3 3
x 横轴
纵轴
y
任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为xy平面.
平面解析几何 图形 曲线
(二元)方程
y f (x)或F(x, y) 0 13
对于空间中的曲面 Σ, 当建立空间直角坐标系 Oxyz 后,如 果曲面 Σ 上的任意点 M 的坐标 ( x, y, z) 与一个三元方程
F ( x, y, z) 0或z f ( x, y) ……(7.1.3)
有如下关系：
一. 空间直角坐标系 二. 空间两点间的距离 三. 空间曲面与方程 四.空间曲线的一般方程 五.空间曲线在坐标面上的投影
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一. 空间直角坐标系
要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简要地介绍 有关解空间解析几何的一些基本概念.
1. 空间直角坐标系及空间中的点与坐标
过空间中的一个定点O, 作三条相互垂直的直线 ox、oy、oz. 再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定 ox、oy、oz
解 因为 MA MB
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2