但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截
曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就 会得出曲面S的全貌——这种方法称为 “平行截口”法. 例 考察下列的图形方程:
(1) x2 y2 R2
2020年8月11日星期二
15
目录
上页
下页
返回
(1) z x2 y2
解 用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆 x2 y2 c
2020年8月11日星期二
4
目录
上页
下页
返回
称由两坐标轴决定的平面为坐标平面,简称 xOy,yOz,zOx平面.
2020年8月11日星期二
5
目录
上页
下页
返回
对于空间直角坐标系,我们采用右手系.所谓 右手系是指将右手的拇指、食指和中指伸成相 互垂直的形状,若拇指、食指分别指向x轴、y轴 正向时,中指正好指向z轴方向.
2020年8月11日星期二
32
目录
上页
下页
返回
开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
2020年8月11日星期二
33
目录
上页
下页
返回
下面来解决关于曲面的两个基本问题:
1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
2020年8月11日星期二
11
目录
上页
下页
返回
例1 求球心在点 M0 (x0, y0, z0 ), 半径为R的球面方程. 解 设球面上任意一点为M (x, y, z),则动点M (x, y, z)与 定点M0 (x0 , y0 , z0 )之 间的长度为 MM0 R,则
2020年8月11日星期二
12
目录
上页
下页
返回
例2 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程. 解 因 MA MB
(x 1)2 y2 (z 4)2 (x 1)2 （y 2）2 (z 1)2
4x 4y 10z 11 0
我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面. 设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲 线L可以用联立方程组
f (x, y) 0 z 0 表示.
2020年8月11日星期二
19
目录
上页
下页
返回
例如x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面,它的母 线平行于Oz轴,准线是xOy平面上的圆.
x2 y2 R2 z 0
故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A、B两点连线的垂直平分
面的方程)为 4x 4y 10z 11 0 因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满足z = 0的
点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为
xo y面的方程为 z = 0 yo z面的方程为 x = 0 xo z面的方程为 y = 0
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为
x2 y2 z2 R2 则z R2 x2 y2 是此球面的上半部;
z R2 x2 y2 是此球面的下半部.
(7.7)
2020年8月11日星期二
24
目录
上页
下页
返回
(3)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
(7.8)
2020年8月11日星期二
25
目录
上页
下页
返回
(4)双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
(7.9)
2示的空间曲面称为二
次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
(1)球面 x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
2020年8月11日星期二
23
目录
上页
下页
返回
(2)椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
当a=b=c=R时,即为球面.
δ
2020年8月11日星期二
x
30
目录
上页
下页
返回
内点、开集 设D为xOy平面上一点集,点 P0(x0,y0)∈D,若存在δ>0,使得 D (P0 ) D.则称P0为 D的内点;若D的点都是内点,则称D为开集.
P0(x0,y0)
2020年8月11日星期二
31
目录
上页
下页
返回
边界、边界点 设P0(x0,y0)为xOy平面上的一点, 若对任意δ>0,总存在点P1,P2∈Dδ(P0),使得 P1∈D,P2 D ,则称点P0为D的边界点;D的全体边 界点的集合,称为D的边界.
有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
域.这里DR(O)表示O(0,0)为圆心,R为半径的开圆,
即
DR(O)={(x,y)|x2+y2<R2}
2020年8月11日星期二
34
目录
上页
下页
返回
例7.3 画出下列区域D的图形:
D1={(x,y)|2≤x2+y2<3}
第七章 多元函数微积分
（Multidimension Differential and Integrate）
2020年8月11日星期二
1
目录
上页
下页
返回
主要内容
第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念 第三节 偏导数与全微分 第四节 多元复合函数与隐函数微分法
第五节 多元函数极值与最值
| AB | d d12 (z2 z1)2 (x2 x1)2 ( y22 y12 ) (z22 z12 ) (7.1)
2020年8月11日星期二
9
目录
上页
下页
返回
特别地,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的 距离为
| OM | x2 y2 z2
(7.2)
2020年8月11日星期二
D2 D3
2020年8月11日星期二
36
目录
上页
下页
返回
空间平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0
其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.
2020年8月11日星期二
14
目录
上页
下页
返回
2. 已知曲面的方程, 研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于 一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.
一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.
当c=0时,只有原点(0, 0, 0)满足此方程；
当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,以 c 半径为R的圆.
显然c越大，其截痕圆越大.
z
若用平面x=a或y=b去截曲面,其 截痕为 抛物线.
x
故曲面 z x2 y2 是 一个旋转抛物面(如图).
2020年8月11日星期二
16
目录
上页
下页
返回
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
2020年8月11日星期二
17
目录
上页
下页
返回
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定动直线l沿曲
线L平行的移动所得的空间曲面称为柱面,L称为 柱面的准线,动直线l称为柱面的母线.
2020年8月11日星期二
18
目录
上页
下页
返回
柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线.
下页
返回
(5)二次锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
(6)椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b,c 0) (a,b 0)
(7.10) (7.11)
2020年8月11日星期二
27
目录
上页
下页
返回
(7)双曲抛物面(马鞍面)
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b 0)
(7.12)
2020年8月11日星期二
2020年8月11日星期二
20
目录
上页
下页
返回
方程x2－y2=1表示母线平行于Oz轴,准线为
双曲线 x2 y2 1 z 0
的双曲柱面.
2020年8月11日星期二
21
目录
上页
下页
返回
方程y2=2px表示抛物柱面.
2020年8月11日星期二
22
目录
上页
下页
返回
3.二次曲面 三元二次方程
a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)
28
目录
上页
下页
返回
例7.1 求球面方程x2+y2+z2－4x+6y+8z=0的球心 和半径. 解 用配方法将原方程改写为
(x－2)2+(y+3)2+(z+4)2－29=0 即 (x 2)2 ( y 3)2 (z 4)2 ( 29)2 所以球心坐标为(2,－3,－4),半径 R 29 .