考研数学一、数学三模拟试题
（考试时间：180分钟）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 设{},{},{}n n n a b c 均为非负数列，且lim 0,lim 0.1,lim ,n n n n n n a b c →∞
→∞
→∞
===∞则必有 【 】
A ．,1,2,.n n a b n <=
B ．,1,2,.n n b c n <= C. 极限lim n n n a c →∞
不存在 D. 极限lim n n n b c →∞
不存在
2. 设函数()f x 在 上连续，其导函数的图形如右图所示， 则()f x 有 【 】 A. 一个极小值点和两个极大值点。

B. 两个极小值点和一个极大值点。

C. 两个极小值点和两个极大值点。

D. 三个极小值点和一个极大值点。

3. 设(,)()()(),x y x y
u x y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+
⎰
其中ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有
【 】
A.
2
2
2
2
u u x
y
∂∂=-
∂∂. B.
2
2
22
u u x
y
∂∂=
∂∂. C.
2
2
2
u u x y
y
∂∂=
∂∂∂. D.
2
2
2
u u x y
x
∂∂=
∂∂∂.
4. 设()f x 为连续函数，1
()(),t t y
F t dy f x dx =
⎰⎰ 则(2)F '= 【 】
A. 2(2).f
B. (2).f
C. (2).f -
D. 0. 5. 设11
121321
222331
32
33,a a a A a a a a a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2123
22231113
121331
3332
33,a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫
⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭0
10100,00
1P ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝
⎭1
000
10,10
1Q ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
则必有【 】
A. .PQA B =
B. .PAQ B =
C. .APQ B =
D. .QAP B =
6. 设向量组Ⅰ：12,,,r ααα 可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ 线性表示，则 【 】 A. 当r<s 时，向量组Ⅱ必线性相关. B. 当r>s 时，向量组Ⅱ必线性相关.
C. 当r<s 时，向量组Ⅰ必线性相关.
D. 当r>s 时，向量组Ⅰ必线性相关.
7. 将一枚硬币独立地掷两次，事件A={第一次出现正面}，B ={第二次出现正面}，C ={正、反面各出 现一次}，D ={正面出现两次}， 则事件 【 】 A. A,B,C 相互独立. B. B,C,D 相互独立. C. A,B,C 两两独立. D. B,C,D 两两独立. 8. 设随机变量2
1~()(1),,X t n n Y X
>=
则 【 】
A. 2
~().Y n χ B. 2
~(1).Y n χ- C. ~(,1).Y F n D. ~(1,).Y F n 二、填空题（每小题4分，共24分）
9.（数一） 20
11lim .tan x x x x →⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
9.（数三）幂级数21
1
(1)
2
n n n
n x
n ∞
+=-∑的收敛域为____________________.
10. 已知函数()y y x =由方程2
61y
e xy x ++=确定，则(0)_______.y ''= 11. 微分方程20y y x ''++=的通解为
___________________________.
12.（数三）设()arcsin ,xf x dx x C =+⎰则1.()
dx f x =⎰
13. 设三阶方阵A 和B 满足：16,A BA BA A -=+且111,
,,347A diag ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
则|B|=_______________. 14. 设X 为10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中率为0.4, 则2()E X =______________. 三、解答题（共94分. 必须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （10分）设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上二阶可导，且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====
证明：（Ⅰ）在(,)a b 内()0;g x ≠
（Ⅱ）在 (,)a b 至少存在一点ξ，使得
()().()
()
f f
g g ξξξξ''=''
16. （10分）如右图所示，曲线C 的方程为()y f x =，点（3,2）
是它的一个拐点，直线1l 和2l 分别是曲线C 在点（0,0）与（3,2）除的切线，其交点为（2,4）.设函数()f x 具有三阶连续导数，计算积分3
0(1)().x x f x dx '''+⎰
17. （10分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶连续导数，且
z f =满足等式
2
2
2
2
0z z x
y
∂∂+
=∂∂.
(Ⅰ) 验证()()0;f u f u u
'''+= （Ⅱ）设(1)0,(1)1,f f '==求()f u 的表达式。

18.（数一，10分）求幂级数21
1
(1)1(21)n
n
n x n n ∞
=⎡⎤-+
⎢⎥-⎣⎦
∑的收敛域及和函数。

18.（数三，10分）设(),0(),0,0x
g x e x f x x
x -⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
其中(0)1,(0)1,(0)2g g g '''==-=。

（Ⅰ）求();f x ' （Ⅱ）讨论()f x '在 内的连续性。

19.（数三，10分）计算二重积分,D
ydxdy ⎰⎰其中D
是由2,0,2,x y y x =-===所围成
的平面区域.
20. (11分)设四元齐次线性方程组①为1224
0x x x x +=⎧⎨-=⎩，又设某齐次线性方程组②的通解为
12(0,1,1,0)(1,2,2,1).T
T
k k +-
(Ⅰ)求方程组①的基础解系；
(Ⅱ)问方程组①和②是否有非零的公共解？若有，则求所有的非零公共解；若没有，则说明理由。

21.（数一，11分）设1*
3220102
32,101,,22
300
1A P B P A P -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
求2C B E =+的特征值与特征向量。

21．（数三，11分）设二次型222
12313222(0),T f x Ax ax x x bx x b ==+-+>其中A 的特征值之和为
1,特征值之积为12.-
（Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）求正交变换x Py =将f 化为标准形。

22．（11分）设随机变量X 的绝对值不大于1；11(1),(1);8
4
P X P X =-=
==
在事件{11}X -<<
出现的条件下，X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比. 求
（Ⅰ）X 的分布函数； （2）X 取负值的概率。

23.（11分）设1,,(2)n X X n > 来自总体2(0,)N σ的简单随机样本. 记,1,2,,.i i Y X X i n =-= (Ⅰ)求i Y 的方差,1,2,,;i D Y i n = (Ⅱ)求协方差1(,);n C ov Y Y (Ⅲ)（数一）若2
1()n c Y Y +是2σ的无偏估计量，求常数c.
(Ⅲ)（数三）若22
1[()]n E c Y Y σ+=，求常数c.。