1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ .(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562xy y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ 试计算下列各题： (1) 200();x S f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),xa F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数n n ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散). 于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 ()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求zx∂∂,再求2z x y ∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dRMR x e dx-==-. (2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =.又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()xxx S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)x x xe dx x e dx --=+-⎰⎰ 121(2)x x xde x de --=-+-⎰⎰12120101(2)x xxxxe edx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以2222(2)220(2)()()n xt n nt n nS f x n e dx f t edt ef t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S e S e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分) 【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰y y x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2y y y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有y y y y ye dy yde ye e d y +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=. 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。