河南城建学院期末考试（论文）题目：Laplace变换在定积分中的应用系别：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化班级：0912102（班）学号：091210247学生姓名：张晓东指导教师：秦志新完成日期：2011.05.23河南城建学院期末考试（论文）任务书摘要Laplace变换应用广泛，本文只给出一些最基本的性质和应用举例，以求举一反三，从而激活思绪，开阔思路，扩大视野，增强学习兴趣。
为了更好的掌握高等数学中关于定积分的内容，使一些利用高等数学的思想解决起来很难，或者无法解决的定积分问题利用laplace 变换的思想考虑会很快、很容易的得出结果。
这就使高等数学中定积分的问题转换成S域中的问题，这样就可以利用laplace变换这个方便的解题工具去解决。
本文中只是把laplace变换作为解题工具，最终要解决的是定积分问题。
所以，laplace只是手段，解决高等数学中的定积分问题才是最终目的！关键字：laplace 工具解决定积分一、 问题的提出在高等数学学习中，定积分的计算是我们不容易掌握的，因为这一部分学习中问题的形式灵活多变，多种多样。
例如：∫∞0!n t nd t ，∫∞0te at ωsin - d t 计算时需要分步积分，且要连续的运用分步积分法。
甚至，有时一个定积分的求解的问题能花费我们很长的时间，且做到最后还有可能得到无法求解的结果。
例如形如0()f t dt t+∞⎰的定积分。
而对于这种问题在高等数学中还没有一个系统的，方便快捷的解题思路。
只有听过解决一般定积分所用的经典方法去进行计算，而这样则会造成事倍功半的结果。
二、 解决的思路如果我们利用积分变换中laplace 变换的思想去考虑和解决这些问题就会得到很快、很简单的解决。
Laplace 变换是在S 域中进行积分，它可以把一些复杂的时域函数的定积分的求解转化到S 域中再进行分析求解。
例如：利用laplace 的微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质，这样就可以绕过很多复杂的数学计算，而使求解变得简单、快捷。
下面利用利用具体定积分来分别说明laplace 变换的性质在解决定积分中的应用。
三、 方法分析1、 利用laplace 变换的微分性质（1） 原函数的微分：222(1)11(1)()[]()(0)()[]()(0)0()()(0) (0)(0)(0)0?()()n nn n k k nk n n n ndf t L sF s f dt d f t L s F s sf f dt d f t L s F s s f dt f d f t L s F s dtff--=--=-'=-- []=-====[]=∑（）特别地，当初值时，（()e R s c >）（2） 象函数的微分：1()[()]? ()()[()]? n n n d F s L tf t dtd F s L t f t dt-=-=-一般地，（Re>c ）例1：30sin 2t te tdt +∞-⎰在利用数学方法计算此例题时，需要反复利用分部积分法，计算过程繁琐、复杂。
但如果利用laplace 变换的微分性质就会带来很大的方便。
解题过程如下：30222330''233002sin 2sin 2sin 24[sin 2]sin 22()[](3)44(3)[(3)4]S 0[sin 2]sin 2(0)4(03)[(03)4]121ttt st tt t te tdt k kt s k t s L tet te te dtF s s s s L tet te te dtF +∞-+∞---+∞---=+∴=+===+++=++===+=++=⎰⎰⎰解：又由象函数微分性质及位移性质（下文说明）得当时，69这与利用高等数的方法计算出的结果是一致的。
但是要比利用数学方法的解题思路要简单的多。
2、 利用laplace 变换的积分性质（1） 原函数的积分：22()[()]()[()()]()[()()]n nnF s L f t dt sF s L f t dt sF s L f t dt s===⎰⎰⎰⎰⎰共个（2） 象函数的积分：1()[]()()[()]()[]()()s s n nn f t L F s dstf t tL F s ds f t L F s ds t+∞+∞-===⎰⎰⎰⎰共个或一般地，例2：sin tdt t+∞⎰此题利用高等数学解题方法很难计算，转化成求S=0时的laplace 变换，利用laplace 变换的的积分性质求解，则会很容易计算出结果。
下面是解题过程：22001[sinh ]1sin 1[][sinh ]1S 0sin [sinh ]arctan 2s s L t s t L L t ds ds t s t L t dt s t π+∞+∞∞+∞=-∴==-====⎰⎰⎰解：当时，这与利用高等数的方法计算出的结果是一致的。
但是要比利用数学方法的解题思路要简单的多。
3、 利用laplace 变换的积位移性质[()]()at L e f t F s a =- [Re （s-a ）>0]例3：0sin at e ktdt +∞-⎰此例的被积函数含有指数和三角函数，如果运用数学的方法求解必运用分部积分法，这样就避免不了步骤麻烦而易出错。
在这里可以引用laplace 变换的性质进行计算要简单很多。
以下是计算过程。
222222220sin [sin ],()0sin (0)at atate ktdtkL kt s k ks a k s k kektdt a k a k +∞--+∞-=+++=∴==+++⎰⎰解： 已知 由位移性质可得 L[e sinkt]=当时，4、 利用laplace 变换的延迟性质1[()]()[()]()()s at L f t e F s L e F s f t u t ττττ----==--或例45(2)0[]t t e e dt +∞---⎰此例也可以由laplace 变换延迟的和位移的性质进行计算。
计算过程如下：5(2)25(2)20(2)0[]1[]5116[1]05015t t st t t e e dt eL e e s s e e dt +∞------⋅+∞----=--+∴-=-=--+⎰⎰解：综上，以上为部分laplace 性质和针对的例题。
可以看出，定积分中有些题目利用laplace 变换的性质计算起来是相当简单的。
但这要求使用者必须要对laplace 变化的性质和运算形式非常的熟悉，这样才能把laplace 变换这个有力工具运用到定积分的计算上。
为了更方便的计算这里提供一些laplace 变换的常用公式：四、思路总结、扩展。
这种利用laplace变换计算定积分的解题方法对定积分的被积函数的形式有一定的要求。
（1）定积分的上下限必须是从0到正无穷的积分。
（2）定积分的被积函数在进行laplace反变换时要简单。
这样形式的定积分利用laplace变换计算才能达到简单的效果。
否则，可能会适得其反！下面是个人总结的解决能用laplace变换性质解决的定积分的具体计算步骤，可供参考。
1、根据定积分被积函数确定利用laplace变换的哪条性质。
2、根据性质转换成题目所需要的积分形式，或计算此定积分被积函数的laplace反变换，根据不同的题型选择所需要的形式。
3、代入上下线进行计算。
主要参考文献:【1】张元林编工程数学《积分变换》高等教育出版社，第四版【2】同济大学数学系编《高等数学》高等教育出版社，第六版后记（致谢）这次论文是让自己能熟练地运用laplace变换这个工具去解决定积分的题型，更是对自己的这学期所学的一次综合的测试。
当然，通过写论文也是对我们进行科学研究基本功的训练，培养我们综合运用所学知识独立地分析问题和解决问题的能力，为以后撰写专业学术论文和工作打下良好的基础。
本次设计能够顺利完成，首先要感谢我的复变函数和积分变换老师——秦志新老师，是他给了我这锻炼的机会，让我学到了很多东西，也因此对这门可产生了浓烈的兴趣；对以后运用这门课所学作为工具去解决本专业和其他方的问题打下了坚实的基础。
还要感谢我的同学们，他们热心的帮助，使我感到了来自兄弟姐妹的情谊；最后还要感谢相关资料的编著者和给予我们支持的社会各界人士，感谢您们为我们提供一个良好的环境，使本次论文圆满完成。