一、多元函数、极限与连续㈠二元函数1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为（或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自变量，为因变量，数集为该函数值域。

由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。

二元函数的图形通常是一张曲面。

例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。

㈡二元函数的极限⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当时的极限，记作或, 这里。

为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。

⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数都无限接近 A 。

因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定义，是 D 的内点或边界点且。

如果，则称函数 f（x，y）在点连续。

如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。

2 ．性质⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次；⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分㈠偏导数⒈偏导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作，，或类似，函数在点处对的偏导数定义为，记作，或。

在实际中求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求时只要将暂时看作常量而对求导数；求时，则只要将暂时看作常量而对求导数。

偏导数可以推广到二元以上的函数注意：对于一元函数来说可以看作函数的微分与自变量微分之商，而偏导数的记号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。

⒉偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，过做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数，即偏导数，就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。

同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。

⒊高阶偏导数：设函数在区域 D 内具有偏导数，，那么在 D 内，都是，的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。

按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数：，，,。

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。

）㈡全微分⒈全微分定义：如果函数在点的全增量可表示为，其中 A 、B 不依赖于、而仅与、有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即。

如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。

定理 1（必要条件）：如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数必定存在，且函数在点的全微分为。

定理2（充分条件）：如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微分。

以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。

习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数的全微分可表示为。

通常将二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。

叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则㈠复合函数的全导数：如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算：。

此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，，，则，其中称为全导数。

上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。

㈡复合函数的偏导数 : 设，并且，，则是的复合函数。

如果可微，函数，对的偏导数存在，则复合函数对的偏导数存在，且㈢全微分形式的不变性 : 设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果、又是的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数的全微分为由此可见，无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式㈠、一个方程的情形隐函数存在定理 1 ：设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有隐函数存在定理 2 ：设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有㈡、方程组的情况隐函数存在定理 3 ：设、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（ Jacobi ）行列式）：在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，，五、方向导数、梯度㈠、方向导数1 、定义：设函数在点的某一邻域内有定义，自点 P 引射线。

设轴正向到射线的转角为, 并设为上的另一点，且。

我们考虑函数的增量与和两点间的距离的比值。

当沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿着方向的方向导数，记作，即。

2 、定理：如果函数在点是可微分的，那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有，其中为 x 轴到方向的转角。

上述定义也可推广到三元函数，它在空间一点沿着方向（设方向的方向角为）的方向导数可以定义为，其中，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向的方向导数为㈡、梯度1 、定义 ( 二元函数的情形 ) ：设函数在平面区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作，即，由梯度的定义可知，梯度的模为：，当不为零时， x 轴到梯度的转角的正切为2 、与方向导数的关系：如果设是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：由此可知，就是梯度在上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有，从而有最大值。

所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。

设函数在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，即六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用㈠、二元函数的泰勒公式定理：设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数，为此邻域内任一点，则有一般地，记号表示设，则上式可表示为⑴，公式⑴称为二元函数在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。

在泰勒公式⑴中，如果取，则⑴式成为 n 阶麦克劳林公式㈡、多元函数的极值定理 1 （必要条件）：设函数在点（, ）具有偏导数，且在点( , ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，定理 2 （充分条件） : 设函数在点（, ）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，，令(, )=A,(, )=B, (, )=C,则 f(x,y) 在（, ）处是否取得极值的条件如下：⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；⑵ AC-<0 时没有极值；⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

㈢、几何应用1 、空间曲线的切线和法平面：⑴设空间曲线的参数方程为，假设三个函数都可导，在曲线上取相应于的一点，则曲线在点 M 处的切线方程为，这里假设均不为零。

如果有个别为零，则应按空间解析几何中有关直线的对称式方程来理解。

切线的方向向量成为曲线的切向量。

向量就是曲线在点 M 处的一个切向量。

⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线在点 M 处的法平面，它是通过点而与 T 为法向量的平面，因此方程为。

⑶若空间曲线的方程以的形式给出 , 则切线方程为：，其中分母中带下标 0 的行列式表示行列式在点的值；曲线在点处的法平面方程为的值；曲线在点处的法平面方程为2 、曲面的切平面和法线⑴若曲面方程为，是曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面的方程为：；法线方程为：⑵若曲面方程为，则切平面方程为或；而法线方程为。