第二章 控制系统的数学模型习题及答案2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。

其中电压)(t u r 和位移)(t x 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t y 为输出量；R （电阻），C （电容），k （弹性系数），和f （阻尼系数），均为常数。

解：（a ）应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11s U s I csR cs R s U c r ++= （1） 2)()(R s Uc s I =（2） 联立式（1）、（2），可解得：CsR R R R Cs R R s U s U r c 212112)1()()(+++=微分方程为:r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 121211+=++ （b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。

对A 点有 )()(111dtdydt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dtdydt dx f 21)(=- （2） 联立式（1）、（2）可得：dtdx k k k y k k f k k dt dy2112121)(+=++ 2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解：(a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图解所示。

对A 点有)()()(1122y y f y xf y x k -=-+- (1) 对B 点有1111)(y k y yf =- (2) 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量1y ，整理后得)()(s X s Y = 21212121221212212121()1()1f f f fs s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++21221221221211221221k k s )k f k f k f (s f f k k s )k f k f (s f f +++++++= (b) 由图可写出sC R s U c 221)(+= sC R s C R sC R s U r 111112111)(+⋅++整理得)()(s U s U r c = 1)(1)(21221122121221122121+++++++s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R 比较两系统的传递函数，如果设112211221,1,,,R k R k C f C f ====则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

2-3 求下图所示各有源网络的传递函数)()(s U s U r c 。

解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出12)()(R Rs U s U r c -=(b) s C R )s C R 1)(s C R 1(sC 1R s C 1R s C 1R )s (U )s (U 212211111122r c ++-=+⋅+-=(c) )1(11)()(212122Cs R R R R Cs R Cs R s U s U r c +-=+⋅-=2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 t t e e t c --+-=221)(，试求系统的单位脉冲响应和传递函数。

解t 2t e 4e dt)t (dc )t (k ---==)2s )(1s (23s 1s 12s 4)]t (k [L )s (+++=+-+==Φ2-5 系统传递函数2s 3s 2)s (R )s (C 2++=，试求初始条件为1)0(c -=、0)0(c= 时系统在输入)t (1)t (r =作用下的输出)t (c 。

解： 得时，由)t (2r )t (2c )t (c 3)t (c 0)0(c,1)0(c =++=-= )s (2R )s (2C )0(3c )s (3sC )0(c)0(sc )s (C s 2=+-+-- 代入初始条件得：2s 21s 4s 1)2s )(1s (s 3s s 2)s (C 2+++-=++--= 2t t2e 4e1)t (c --+-=2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数)s (Q )s (Q r c 。

解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数68.0s )K 42.018.1(s )K 7.09.0(s )6.0s (7.0)s (Q )s (Q 23r c ++++++= 2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)s (R )s (C 。

解： 系统结构图如下：利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为84321743215436324321G G G G G G G G G G G G G G G G 1G G G G )s (R )s (C -+++=2-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数)s (R )s (C 。

解： （a ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X所以： 43213243214321G G G G G G G G G G 1G G G G )s (R )s (C ++++=（b ）所以：HG 1G G )s (R )s (C 221--=（c ）所以：3213221321G G G G G G G 1G G G )s (R )s (C +++=2-9 试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。

解： （a ）图中有1条前向通路，4个回路1G G G G P 143211=∆=，)L L L L (1H G G L H G G G G L H G G G L H G G L 43212434443213332121321+++-=∆-==-==，，，，243443213321132432111H G G H G G G G H G G G H G G 1G G G G P )s (R )s (C +-+-=∆∆= （b ）图中有4条前向通路，5个回路，，，，1242321211G G P G P G G P G P ===-= ，，，，，2151242321211G G L G G L G L G G L G L -=-=-=-== ，，)L L L L (1143214321+++-=∆=∆=∆=∆=∆∆∆+∆+∆+∆=44332211P P P P )s (R )s (C 2121212121122211122211G G 3G G 1G G G G 2G G G G G G G G 1G G G G G G ++-+-=++++-+++-=（c ）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路，，，，1234213211L 1G G P 1G G G P -=∆-==∆= ，，，3232321211H G L H G L H G G L -=-=-= ，21321L L )L L L (1+++-=∆213213223121121343212211H H G G G H G H G H G G 1)H G G 1(G G G G G P P )s (R )s (C +++++-=∆∆+∆= 2-10 已知系统的结构图如下，图中)(s R 为输入信号，)(s N 为干扰信号，试求总输出C(s)。

解：（a ）令0)s (N =，求)s (R )s (C 。

图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。

，，，，H G 1L 1G G P 1G G P 2123121211+=-=∆==∆=，，，31321221G G L G G L H G L -=-=-= ，31321L L )L L L (1+++-=∆ 则有HG G G G G G G H G 1)H G 1(G G G G P P )s (R )s (C 32131212231212211++++++=∆∆+∆= 令0)s (R =，求)s (N )s (C 。

有3条前向通路，回路不变。

，，，，1G G G P L 11P 22142111=∆=-=∆-= ，，133143L 1G G G P -=∆=，31321L L )L L L (1+++-=∆HG G G G G G G H G 1)H G 1(G G G G G G H G 1P P P )s (N )s (C 3213121223142142332211+++++++--=∆∆+∆+∆=HG G G G G G G H G 1)]H G (1G G G G G G H G 1)[s (N )]H G 1(G G G R(s)[G )s (C 321312122314214223121+++++++--+++=（b ）令0)s (N 0)s (N 21==，，求)s (R )s (C 。

图中有1条前向通路，1个回路。

，，，，1111L 12s )1s (K 2L 12s Ks P -=∆++-==∆+=则有)1K (2s )1K 2(KsP )s (R )s (C 11+++=∆∆= 令0)s (N 0)s (R 2==，，求)s (N )s (C 1。

图中有1条前向通路，回路不变。

，，1s P 11=∆=则有)1K (2s )1K 2()2s (s P )s (N )s (C 111++++=∆∆= 令0)s (N 0)s (R 1==，，求)s (N )s (C 2。

图中有1条前向通路，回路不变。

12s K2P 11=∆+-=，则有)1K (2s )1K 2(K2P )s (N )s (C 112+++-=∆∆= 1)2(k 1)s (2k )s (2kN )s (N )2s (s ksR(s))s (C 21+++-++=（c ）令0)s (N =，求)s (R )s (C 。

图中有3条前向通路，2个回路。

，，，，，，1G G G P 1G G P 1G G P 3421324321421=∆==∆==∆= ，，，)L L (1G G L G G L 21432421+-=∆-=-= 则有43424214342332211G G G G 1G G G G G G G P P P )s (R )s (C ++++=∆∆+∆+∆= 令0)s (R =，求)s (N )s (C 。

有1条前向通路，回路不变。

，，1G P 141=∆= 则有4342411G G G G 1G P )s (N )s (C ++=∆∆= 434244214342G G G G 1G )s (N ]G G G G G G G )[s (R )s (C +++++=2-11)s (R H G H G H H H G G G H G H G 1G H H H G G )H G 1(G )s (Y 33113213213311112334331-+-+--=。