第二章《整式》培优
专题一、找规律题
（一）、代数式找规律
1、观察下列单项式：5
4
3
25,
4
,
3,
2
,a
a
a
a
a-
-，…
（1）观察规律，写出第2010和第2011个单项式；
（2）请你写出第m个单项式和第n+1个单项式。

（m为自然数）
2、有一个多项式为3
3
2
4
5
6b
a
b
a
b
a
a-
+
-…，按这种规律写下去，第六项是
= ，最后一项是= 。

3、（1）观察一列数2,4,8,16,32，…发现从第二项开始，每一项与前一项之比
是一个常数，这个常数是= ，根据此规律，如果
n
a（n为正整数）表示
这个数列的第n项，那么
18
a= ，
n
a= 。

（2）如果欲求20
3
23
3
3
3
1+
+
+
+
+ 的值，可令
20
3
23
3
3
3
1+
+
+
+
+
=
S①，将①式两边同乘以3，
得，②
由②减去①式，得S= ;
（3）由上可知，若数列
1
a，
2
a，
3
a，…
n
a，
n
a，从第二项开始每一项与
前一项之比的常数为q，则
n
a=，（用含
1
a，q，n的代数式表示），如果这个
常数q≠1，那么
1
a+
2
a+
3
a+…+
n
a= （用含
1
a，q，n的代数式表示）。

4、观察下列一组数：
2
1
，
4
3
，
6
5
，
8
7
，……，它们是按一定规律排列的，
那么这一组数的第n个数是．
（二）、图形找规律
5、用棋子摆成如图所示的“T”字图案．
（1）摆成第一个“T”字需要个棋子，第二个图案需要个棋
子；
（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要个棋子，第n
个需要个棋子．
6、如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5
个“广”字中棋子个数是= ，第n个“广”字中棋子个数是= 。

7、下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则
第n个图中所贴剪纸“●”的个数为．
8、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2
个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，
依次规律，第6个图形有________个小圆；第n个图形有______个小圆.
9、观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）
（1）（2）（3）
……
……
第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形
…
A. 22n +
B ．44n +
C ．44n -
D ．4n
10、观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________
11、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子：
观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了[（n+1）2+（2n-1）] 块石子。

解析：第一个小房子：5=1+4=1+22
第二个小房子：12=3+9=3+32 第三个小房子：21=5+16=5+42 第四个小房子：32=7+25=7+52
…………………… 第n 个小房子：（n+1）2+（2n-1）
专题二：整体代换问题
12、若a a -2=2010，则()
201022
--a a = 。

13、若式子6432+-x x 的值是9，则163
4
2
+-
x x 的值是= 。

14、若实数a 满足122+-a a =0，则542+-a a = 。

15、已知代数式xy x +2=2，xy y +2=5，则22352y xy x ++的值是多少?
16、当x=2010时，201013=++bx ax ，那么x=－2010时，13++bx ax 的值
是多少？
专题三：绝对值问题
17、,,a b c 在数轴上的位置如图所示， 化
简
：|||a b b a
+
+
-
-
18、有理数a 、b 在数轴上位置如图所示，试化简b b b 322231-++--.
……
第1个 第2个
第3个
…… …… ①1=12 ②1+3=22 ③1+3+5=32 ④
⑤
c
a b
19、有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图，化简代数式：
c b a c b a b a -+--++-2
：
专题四：综合计算问题
20、若212y x m -与n y x 2-的和是一个单项式，则m= ，n= 。

21、如果关于x 的代数式1522
2--++-x nx mx x 的值与x 的取值无关，则m= ，n= 。

22、已知m 、n 是系数，且y xy mx +-22与y nxy x 3232++的差中不含二次项，求2
22n mn m ++的值。

23、已知1abc =，求111
a b c
ab a bc b ac c ++++++++的值。

24、已知22
15,6m mn mn n -=-=-，求2
2
32m mn n --的值。

25、已知,a b 均为正整数，且1ab =，求11
a b a b +++的值。

26、已知2
10m m +-=，求3
2
22005m m ++的值。

27、若（x 2+mx+8）（x 2-3x+n ）的展开式中不含x 3和x 2项，求m 和n 的值。

28、3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1的个位数是多少。

解：3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1 =(24-1) (24+1)(28+1)……(232+1)+1 =(28-1) (28+1)……(232+1)+1 =264-1+1
=264= (24)16=(16)16
∵16的任何次方的个位数都是6
∴3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1的个位数是6.
专题五：应用问题
29、一位同学做一道题：“已知两个多项式A ，B ，计算2A+B ”。

他误将“2A+B ”看成“A+2B ”，求得的结果为7292
+-x x 。

已知B=232
-+x x ，求原题的正
确答案。

30、某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一。

A ：计时制：0.05元/分；B ：包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）。

此外，每一种上网方式都加收通信费0.02元/分。

(1)某用户每月上网时间为x 小时，请你分别写出两种收费方式下改用户应该支付
的费用；
(2)若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
31、小星和小月玩猜数游戏，小星说：“你随便选定三个一位数，按这样的步骤去算：①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；
⑥加上第三个数。

只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数。

”小月不相信。

但试了几次，小星都猜对了，你知道小星是怎样猜的吗？如果小月告诉小星的数是484，你知道小月所想的三个一位数是什么吗？
分析:设这三个数分别是abc，再根据①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；
④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数，把所得的式子化简，再减去250把第一个数除以100，第二个数除以10即可．
解答：解：设这三个数分别是a、b、c，
∵①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数,
∴[（2a+5）×5+b]×10+c
=[10a+b+25]×10+c
=100a+10b+c+250，再减去250，把第一个数除以100，第二个数除以10即可得出这三个数．
∴484-250=234=2×100+3×10+4 ∴a=2,b=3,c=4
32、七年级一班的小明和小王是好朋友。

有一次，小王拿出一副扑克牌，让小明从中任意抽出一张牌，且让他将牌上的点数默记心中。

小王说：“请你将点数乘2加3后再乘5，再减去25，算出答案后告诉我，我就知道你所抽的牌是几点。

”小明算完后说“100”。

小王马上宣布：“你抽的牌是J。

”小明很佩服。

你能帮小明分析其中的奥秘吗？若小明算出的答案是120，他抽到的是哪张牌？
分析:设这个数为x，在根据“将点数乘2加3后再乘5，再减去25”，设计算后所得到数是y，那么y=（2x+3）×5-25。

解答：设这个数为x，计算后所得到数是y，
∵将这个数乘2加3后再乘5，再减去25
∴（2x+3）×5-25=y
10(x-1)=y
X=y/10+1
∴当y=120时，x=120/10+1=13
即，答案是120时，他所抽到的牌是K。