第二章《整式》培优专题一、找规律题（一）、代数式找规律1、观察下列单项式：54325,4,3,2,aaaaa--，…（1）观察规律，写出第2010和第2011个单项式；（2）请你写出第m个单项式和第n+1个单项式。

（m为自然数）答案：（1）-2010a2010；2011a2011（2）ma^m(m为奇数)，-ma^m(m为偶数)2、有一个多项式为332456bababaa-+-…，按这种规律写下去，第六项是= ab5，最后一项是= b6 。

3、（1）观察一列数2,4,8,16,32，…发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是= 2 ，根据此规律，如果na（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么18a= 218，na= 2n。

（2）如果欲求203233331+++++ 的值，可令203233331+++++=S①，将①式两边同乘以3，得3s=3+32+33+34+…+321，②由②减去①式，得S= （321-1）/2 ;（3）由上可知，若数列1a，2a，3a，…na，na，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则na=a1q n-1，（用含1a，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么1a+2a+3a+…+na= a1(1-q n)/(1-q) （用含1a，q，n的代数式表示）。

4、观察下列一组数：21，43，65，87，……，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（2n-1）/2n ．（二）、图形找规律5、用棋子摆成如图所示的“T”字图案．（1）摆成第一个“T”字需要 5 个棋子，第二个图案需要8 个棋子；（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要32 个棋子，第n个需要(3n+2)个棋子．6、如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中棋子个数是= 15 ，第n个“广”字中棋子个数是= 2n+5 。

7、下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“●”的个数为3n+2 ．8、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有___46______个小圆； 第n 个图形有_(_n 2+n+4_)______个小圆.9、观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ D ）A. 22n + B ．44n + C ．44n - D ．4n10、观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式1+3+5+……+（2n-1）=n 211、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子：观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了[（n+1）2+（2n-1）] 块石子。

解析：第一个小房子：5=1+4=1+22第二个小房子：12=3+9=3+32第三个小房子：21=5+16=5+42……第1个第2个 第3个 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形…（1） （2） （3） ………… …… …… ①1=12 ②1+3=22 ③1+3+5=32 ④1+3+5+7=4^2 ⑤1+3+5+7+9=5^2第四个小房子：32=7+25=7+52……………………第n 个小房子：（n+1）2+（2n-1） 专题二：整体代换问题 12、若a a -2=2010，则()201022--a a = 0 。

13、若式子6432+-x x 的值是9，则16342+-x x 的值是= 17 。

14、 (2010•常州)若实数a 满足122+-a a =0，则542+-a a = 3 。

15、已知代数式xy x +2=2，xy y +2=5，则22352y xy x ++的值是多少? 解：∵xy x +2=2，xy y +2=5 ∴22352y xy x ++=2（xy x +2）+3（xy y +2）=4+15=19 16、当x=2010时，201013=++bx ax ，那么x=－2010时，13++bx ax 的值是多少？ 解：∵当x=2010时，201013=++bx ax 时，∴2010^3a+2010b=2009,∴当x=－2010时，-2010^3a-2010b+1=-(2010^3a+2010b )+1∴原式=-2009+1=-2008专题三：绝对值问题17、,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简：|||1||||1||23|a b b a c c b ++-------解：|||1||||1||23|a b b a c c b ++-------=-(a+b)-(b-1)+(a-c)-(1-c)+(2b-3)=-a-b-b+1+a-c-1+c+2b-3=2a-18、有理数a 、b 在数轴上位置如图所示，试化简b b b 322231-++--.解：b b b 322231-++--=(3b-1)-2(2+b)+(3b-2)=3b-1-4-2b+3b-2=4b-7ca b 019、有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图，化简代数式：c b a c b a b a -+--++-2解： c b a c b a b a -+--++-2=-（a-b ）-(a+b)-(c-a)+2(b-c)=a-b-a-b-c+a+2b-2c=a-3c专题四：综合计算问题20、若212y x m -与n y x 2-的和是一个单项式，则m= 3 ，n= 2 。

21、如果关于x 的代数式15222--++-x nx mx x 的值与x 的取值无关，则m= 5 ，n= 2 。

22、已知m 、n 是系数，且y xy mx +-22与y nxy x 3232++的差中不含二次项，求222n mn m ++的值。

解：（y xy mx +-22）-（y nxy x 3232++）=mx 2-2xy+y-3x 2-2nxy-3y=(m-3)x 2-(2+2n)xy-2y∵y xy mx +-22与y nxy x 3232++的差中不含二次项 ∴m-3=0,2+2n=0∴m=3,n=-1即，222n mn m ++=32+2×3×(-1)+(-1)2=423、已知1abc =，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。

解：∵a/(ab+a+1)＝a/(ab+a+abc)=1/(b+1+bc)∴a/(ab+a+1)=1/b *b/(bc+b+1)∴c/(ca+c+1)=c/(ca+c+abc)=1/(a+1+ab)=1／a* a/(ab+a+1)=1／a* 1/b *b/(bc+b+1)=1/ab* b/(bc+b+1)∴a/(ab+a+1) +b/(bc+b+1) +c/(ca+c+1)=1/b *b/(bc+b+1)+b/(bc+b+1)+1/ab* b/(bc+b+1)=(a+ab+abc)/(a+ab+abc)=124、已知2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。

解：∵2215,6m mn mn n -=-=-∴2232m mn n --=3m ^2-3mn +3mn -mn-2n^2=3(m^2-mn)+2mn-2n^2=3(m^2-mn)+2（mn-n^2）∴原式=3*15-2*6=45-12=3325、已知,a b 均为正整数，且1ab =，求11a b a b +++的值。

解：∵ab=1, ∴a=1/b ∴11a b a b +++=1/b(b/1+b)+(b/b+1)=(1/1+b)+(b/b+1)=(1+b/1+b)=1 26、已知210m m +-=，求3222005m m ++的值。

解：∵210m m +-=∴m 2+m=1∴3222005m m ++=m 3+m 2+m 2+2005=m(m 2+m)+m 2+2005=m+m 2+2005∴原式=1+2005=200627、若（x 2+mx+8）（x 2-3x+n ）的展开式中不含x 3和x 2项，求m 和n 的值。

解：∵（x 2+mx+8）（x 2-3x+n ）= x 4 -3x 3+nx 2 +mx 3 -3mx 2-24x +nx 2 +mnx +8n= x 4 –(3-m) x 3+(2n-3m) x 2 +(mn-24)x+8n又∵（x 2+mx+8）（x 2-3x+n ）的展开式中不含x 3和x 2项∴(3-m)=0，(2n-3m)=0，∴m=3,n=4.528、3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1的个位数是多少。

解：3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1=(24-1) (24+1)(28+1)……(232+1)+1=(28-1) (28+1)……(232+1)+1=264-1+1=264= (24)16=(16)16∵16的任何次方的个位数都是6∴3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1的个位数是6.专题五：应用问题29、一位同学做一道题：“已知两个多项式A ，B ，计算2A+B ”。

他误将“2A+B ”看成“A+2B ”，求得的结果为7292+-x x 。

已知B=232-+x x ，求原题的正确答案。

解：∵A+2B=7292+-x x ，B=232-+x x∴A=(9x 2-2x+7)-2(232-+x x )=9x 2-2x+7-2x 2-6x+4=7x 2-8x+11∴2A+B=2(7x 2-8x+11)+ 232-+x x =15x 2-13x+2030、某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一。

A ：计时制：0.05元/分；B ：包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）。

此外，每一种上网方式都加收通信费0.02元/分。

(1)某用户每月上网时间为x 小时，请你分别写出两种收费方式下改用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？ 解：（1）A=0.05x+0.02x=0.07x;B= 0.02x+50(2)A-B=0.07x-( 0.02x+50)=0.05x-50当x=20时，A-B=0.05×20-50=-49<0∴当上网的时间为20小时，采用A 方式较为合算.31、小星和小月玩猜数游戏，小星说：“你随便选定三个一位数，按这样的步骤去算：①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数。