比较上式两边，解出单变量函数 然后求出v(x, y) 。
ϕ′(x) 的表达式，
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3 3 例. 已知函数 u(x, y) = xy − x y, 证明它是一个调和函数，
且求出其共轭调和函数v (x, y)。
x4 y4 3 2 2 v(x, y) = + − x y + c. 4 4 2
例. 设 v 是 u 的共轭调和函数， 证明
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证明：由CR方程， Step1.
Step 2.
∂u ∂v = , 所以两边对y积分，得到 ∂x ∂y ∂u v(x, y) = ∫ (x, y)dy +ϕ(x) ∂x ∂u ∂v =− ∂y ∂x
−uy (x, y) = vx (x, y) =
∂ ∂u ∫ ∂x(x, y)dy +ϕ′(x) ∂x
∂u ∂v = , ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
∂2u ∂2v = , 2 ∂y∂x ∂x
∂2u ∂2v =− 2 ∂x∂y ∂y
∂2u ∂2u + 2 = 0, 2 ∂x ∂y
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共轭调和函数 一个解析函数的实部 u 和虚部 v 都是调和函数。 称v(x, y) 是 u(x, y) 的共轭调和函数。 如果已知区域D内的某个解析函数的实部u（或虚部 v），那 么可以利用柯西－黎曼方程求出它的虚部v （或实部u）， 从而得到D内的解析函数f (z) 的表达式。 D f 定理： 设 u(x, y)是z0的一个邻域中的调和函数，则存在一 个定义在这个邻域中的共轭调和函数v(x, y)，使得 f(z) 在z0点解析。
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∂u ∂v = , ∂x ∂y
∂u ∂v 2 ∂v = − =i ∂y ∂x ∂x
由于 εk是 穷 量 无 小 ,
∆x ∆y ≤1 , ≤1 , ∆z ∆z
(ε1 +iε3 )∆x +(ε2 +iε4 )∆y
∆z
→0
(∆z →0)
f (z + ∆z) − f (z) ∂u ∂v = +i f ′(z) = lim ∆z→ 0 ∂x ∂x ∆z
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解析函数的充要条件（ 条件） 解析函数的充要条件（Cauchy – Riemann 条件）
判别一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义， 往往是困难的。 设 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在D内，并且在D内任一点z=x+iy 可导，则 其中
f (z + ∆z) − f (z) = f ′(z)∆z + ρ(∆z)∆z
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例 判定下列函数在何处可导，在何处解析
w= z
f (z) = ex (cos y +i sin y)
C－R方程不满足
w= z R ) e(z
w = z = x −iy
f (z) = ex (cos y +i sin y)
C－R方程满足，实部虚部均有一阶 连续偏导数 仅仅在原点满足C－R方程
f(z) 在D内一点z=x+iy可导的充要条件是 u(x,y), v(x,y) 在点（x, y）可微，并且在该点满足C-R方程。 必要性由前面的叙述可知。充分性的证明下面给出。
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充分性的证明
f (z + ∆z) − f (z) = u(x + ∆x, y + ∆y) −u(x, y)
+i[v(x + ∆x, y + ∆y)而要满足C－R方程，只需
2x + ay = dx + 2y,
2cx + dy = −ax − 2by. d =2
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a = 2 b = -1 c = −1 , ,
例 如果 f ′(z) 在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。 证明： f ′(z) = ∂u +i ∂v = ∂v −i ∂u ≡ 0 ∂y ∂y ∂x ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = = = ≡0 ∂x ∂x ∂y ∂y
取特殊的趋向，得到不同的极限值。
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II） 可导与连续 f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。 连续 证明 III） 求导法则 可以将实函数中的运算法则推广至复变函数， 证法相同。 可导
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IV） 微分概念 假设f (z)在z0处可导，则
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) f ′(z0 ) = lim ∆z→ 0 ∆z
求 f (z) = z2 的 数 导
2 2
f (z + ∆z) − f (z) (z + ∆z) − z lim = lim ∆z→ 0 ∆z→ 0 ∆z ∆z
= lim (2z + ∆z) = 2z
∆z→ 0
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例： 问f (z) = x + 2yi 是 可 ？ 否 导
f (z + ∆z) − f (z) lim ∆z→ 0 ∆z (x + ∆x) + 2(y + ∆y)i −(x + 2yi) = lim ∆z→ 0 ∆z ∆x + 2∆yi = lim ∆z→ ∆ + ∆ 0 x yi 极限不促在
复变函数与积分变换
黄振坤 hzk974226@
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第二章
解析函数
复变函数的导数 解析函数 解析函数的充要条件 初等解析函数
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复变函数的导数与微分
I） 导数的定义 设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) lim ∆z→ 0 ∆z
w = z R z) = x(x + iy) e(
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例 设函数
f (z) = x2 + axy +by2 +i(cx2 + dxy + y2 ).
问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？ 解： ∂u = 2x + ay ∂x
∂u = ax + 2by ∂y ∂v = dx + 2y ∂y
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例：研究函数 f (z) = z2 , g(z) = x + 2yi 和 h(z) =| z |2 的 析 。 解 性 解： f (z) = z2 在复平面上处处解析。
g(z) = x + 2yi 在复平面上处处不解析。
2 2 h(z) =| z |2 z0 + ∆z − z0 h(z0 + ∆z) −h(z0 ) = lim lim ∆z→ 0 ∆z→ 0 ∆z ∆z
u(x, y) ≡ C, v(x, y) ≡ C
f (z) 在D内恒为常数。
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解析函数与调和函数的关系
定义：设 u(x,y) 在平面区域具有二阶连续偏导数且满足
∂2u ∂2u + 2 = 0, 2 ∂x ∂y
则称二元函数 u(x,y) 为调和函数。 定理：设 f(z) = u(x,y) + I v(x,y) 在区域 D 上解析。如果 u, v 的 所有二阶偏导数连续，那么 u 和 v 为D内的调和函数。
∆z→ 0
lim ρ(∆z) = 0.
令 f (z + ∆z) − f (z) = ∆u + i∆v,
f ′(z) = a + ib,
ρ(∆z) = ρ1 +iρ2
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∆u +i∆v = (a +ib)(∆x +i∆y) +(ρ1 +iρ2 )(∆x +i∆y)
= [(a∆x −b∆y) +(ρ1∆x − ρ2∆y)] +i[(b∆x + a∆y) +(ρ2∆x + ρ1∆y)] ∆u = a∆x −b∆y + ρ1∆x − ρ2∆y ∆v = b∆x + a∆y + ρ2∆x + ρ1∆y
∂u ∂v ∂u ∂v = +i ∆x + +i ∆y + (ε1 +iε3 )∆x + (ε2 +iε4 )∆y ∂y ∂y ∂x ∂x
根据C－R方程，有
f (z + ∆z) − f (z) ∂u ∂v = +i (∆x + i∆y) + (ε1 +iε3 )∆x + (ε2 + iε4 )∆y ∂x ∂x (ε1 +iε3 )∆x + (ε2 +iε4 )∆y ∂u ∂v = +i ∆z + ∆z ∆z ∂x ∂x
= ∆u +i∆v
因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，可知
∂u ∂u ∆u = ∆x + ∆y +ε1∆x +ε2∆y ∂x ∂y ∂v ∂v ∆v = ∆x + ∆y +ε3∆x +ε4∆y ∂x ∂y
εk 是 穷 量 无 小
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∂u ∂u f (z + ∆z) − f (z) = ∆x + ∆y +ε1∆x +ε2∆y ∂x ∂y ∂v ∂v +i ∆x + ∆y +ε3∆x +ε4∆y ∂y ∂x
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解析函数 定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在z0解析。 解析 内解析。 如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(z) 在D内解析 内解析 如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0为f(z)的奇点 的奇点。 的奇点 注记： 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。 函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的。 函数在一点处可导未必在该点处解析。 函数在一 点处解析比在该点处可导的要求要高得多。