其中c是从点 是从点1+i 到原点的直线段 例2.1 计算 ∫ zdz , 其中 是从点
c
解一：在此直线段上 可令x=t, y=t , t∈[0, 1], 从而 解一：在此直线段上, 可令 ∈
∫ z dz = ∫
c
0
1
(t +it)(1+i)dt = ∫
0
1
t (1+i) tdt = 2i = −i 21
第二章 解析函数的积分 §2.1 复积分的概念与性质 一. 曲线 一条曲线如果其切线连续变动, 一条曲线如果其切线连续变动 则称其为 光滑曲线； 光滑曲线； 由几段互相衔接的光滑曲线组成的曲线称为 逐段光滑曲线； 逐段光滑曲线； 有向曲线. 规定了起点和终点的曲线称为有向曲线 规定了起点和终点的曲线称为有向曲线 c ~ c¯ 互为反向曲线 互为反向曲线 反向曲线.
n
证明: 以点α为中心作一半径为 的圆c'包含于 为中心作一半径为R的圆 包含于c 证明 以点 为中心作一半径为 的圆 包含于 的内部, 由定理 的内部 由定理2.2, 即复连通区域的柯西积分定 理, 知
I = ∫ (z −α)n dz = ∫ (z −α)n dz
c c'
将圆周 c' 的方程 z =α + Reiϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) 代入积分中： 代入积分中：
自身不相交的连续曲线称为简单曲线； 自身不相交的连续曲线称为简单曲线； 简单曲线 简单曲线也称为若尔当 若尔当(Jordan)曲线 曲线. 曲线 简单曲线也称为若尔当 闭合的光滑或逐段光滑的曲线称为围线 闭合的光滑或逐段光滑的曲线称为围线. 围线 前进时, 当观察者沿 c 前进时 围线内部始终在 人的左侧, 则此时的方向为围线的正方 人的左侧 则此时的方向为围线的正方 也就是逆时针方向. 逆时针方向 向, 也就是逆时针方向 复连通区域的边界称为复围 该围线的正向为： 线, 该围线的正向为：
=∫ =∫
z+∆z z0 z+∆z
f (ζ )dζ − ∫ f (ζ )dζ
z0
z
z
f (ζ )dζ
的线段. 其中积分路径为 z 到 z +∆z的线段 所以 的线段
∆F 1 z+∆z − f (z) = ∫ [ f (ζ ) − f (z)] dζ ∆z ∆z z
f (z)在D内连续 在 内连续 有 | f (ζ ) − f (z)| < ε
k=1
∫
c
δ →0
k=1
k
k
k−1
为围线, 若c为围线 则记为 为围线 三. 复积分的性质
∫
c
f (z)dz .
如果不加说明, 总是沿着围线c的正方向积分 的正方向积分. 如果不加说明 总是沿着围线 的正方向积分 1.若 f (z) = u +iv在c上连续 则 ∫ f (z)dz存在 并且 若 上连续, 存在, 上连续
− − Γ = c1 + c2 +Lcn
二. 复积分的定义
定义2.1 设函数 f (z) 定义在由 定义在由a 定义 的有向曲线c上 将 任意分 到b的有向曲线 上.将c任意分 的有向曲线 小段, 成n小段 分点为 a = z0, z1,L, zn = b. 小段 并作和式： 在弧段 zk−1zk 上任取一点 ζ , k =1,2,L, n , 并作和式：
c c
ds =| dz |= (dx)2 + (dy)2 是曲线 上弧长的微分 是曲线c上弧长的微分 上弧长的微分. 其中
7. 如果 f (z) =f [ z(t) ], 其中 是参数 α≤ t ≤β, 其中t是参数 是参数, 变到β时 沿光滑曲线c从起点到 当 t 从α变到 时, 点 z(t) 沿光滑曲线 从起点到 变到 达终点, 达终点 则 β ∫ f (z) dz = ∫ f [ z(t) ] z '(t)dt
z0 z
为 的一个不定积分 数, F(z)为 f (z)的一个不定积分 或一个原函数 的一个不定积分(或一个原函数). 的原函数不唯一 只相差一个常数. ※ f (z)的原函数不唯一 但它们只相差一个常数 的原函数不唯一, 但它们只相差一个常数
定理2.3 解析函数 f (z)的不定积分 的不定积分F(z)在D内解析 内解析, 定理 的不定积分 在 内解析 F'(z) = f (z) 且 *证明： ∆F = F(z +∆z) − F(z) 证明： 证明
c
∫ f (z)dz = ∫ (u +iv)(dx +idy) = ∫ (udx −vdy) +i∫ (vdx +udy)
c c c c
即复变函数的积分可归结为两个实函数的线积分. 即复变函数的积分可归结为两个实函数的线积分 2. 3. 4. 为复常数) 为复常数 ∫ a f (z)dz = a ∫ f (z)dz (a为复常数
c1 ab c2 ba
ab与ba是反向曲线 因此 与 是反向曲线 是反向曲线,
∫
c1
f (z)dz ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∫ f (z)dz = 0
c2
一般的, 若围线c 互不相交, 互不包含, 一般的 若围线 2, c3, …, cn 互不相交 互不包含 且 都在围线c 的内部.若 在由c 在由 都在围线 1的内部 若 f (z)在由 1, c2, c3, …, cn所 上解析, 围闭复连通区域 D上解析 则
I = ∫ R e d(Re ) = ∫ R e (iRe )dϕ
n inϕ iϕ n inϕ 2π iϕ c 0 2π
= R i∫ e
0
n+1
i(n+1)ϕ
dϕ
当n＝－ 时, ＝－1时 ＝－ 当n≠－1时, － 时 证毕. 证毕
I = i∫ dϕ = 2πi
0
2π
I =i R
n+1
1 i(n+1)ϕ 2π e =0 ϕ=0 i(n +1)
c
(1) 从z = 0到 z =1+i 的直线段 到 (2) 从 z = 0 经 z = 1 到 z = 1+i 折线段 还是解析函数？ 如果 f (z) 还是解析函数？ C-R条件： ∂u = ∂v , 条件： 条件 ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
§2.2 柯西积分定理
定理2.1 柯西积分定理 柯西积分定理) 是单连通区域D内 定理 (柯西积分定理 设 f (z) 是单连通区域 内 解析函数, 为 内任一围线 内任一围线, 的解析函数 c为D内任一围线 则：
2
2 0
解二： 解二：
∫ z dz = ∫ (x +iy)(dx +idy) = ∫ (xdx − ydy) +i∫ (xdy + ydx)
c c c c
c: y = x
∫
x=0
x=1
(xdx − xdx) +i∫
x=0
x=1
(xdx + xdx) = 2i∫
x=0
x=1
xdx =−i
习题2.2 积分路径c分别是 分别是: 习题 第1题 计算 ∫ Re z dz , 积分路径 分别是 题
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 | ζ − z | < δ 时,
故当 | ∆z | < δ 时, 有
∆F 1 z+∆z − f (z) = ∫z [ f (ζ ) − f (z)] dζ ∆z ∆z
1 1 < ε ∆z = ε | ∆z | = ε ∆z | ∆z | ∆F 因此, 的导数为： 因此 F(z)的导数为： F '(z) = lim 的导数为 = f (z) ∆z→0 ∆ z
∫
c
f (z)dz = 0
证明：严格的证明比较困难 在假设 证明：严格的证明比较困难.在假设 f '(z) 连续 后, 可利用复变函数积分的计算公式和二元实 函数积分的格林公式进行. 函数积分的格林公式进行
格林公式： 设闭区域D由分段光滑的曲线 由分段光滑的曲线L围 格林公式： 设闭区域 由分段光滑的曲线 围 成, 函数 f (x, y) 及 g (x, y) 在D上具有一阶连续 上具有一阶连续 偏导数, 则有： 偏导数 则有：
∫
c1
f (z)dz = ∫ f (z)dz
c2
证明：作割线 连接 连接c 证明：作割线a b连接 1和c2, 则 变为单连通区域. D变为单连通区域
− 由定理2.1, 在围线 c = c1 + ab + c2 + ba上 由定理
∫
c
f (z)dz = ∫ +∫ + ∫ − +∫ f (z)dz = 0
§2.3 柯西积分公式
在曲线c所围 定理2.5 (柯西积分公式 设 f (z) 在曲线 所围 柯西积分公式) 定理 柯西积分公式 内解析, 是 的任一内点 的任一内点, 的闭区域 D 内解析 α是D的任一内点 则 1 f (z) f (α) = ∫c z −α dz 2πi 证明：由例2.2 证明：由例2.2
∂g ∂f f dx + g dy = ∫∫ ( − )dxdy = ∫∫ ∂x ∂y D D f
∂ ∂x ∂ ∂y
∫
l
g
dxdy
证明：假设 f '(z) 连续 证明： 连续,
∫
c
f (z)dz = ∫ (udx −vdy) +i ∫ (vdx +udy)
c c
=−∫∫ (vx +uy )dxdy +i∫∫ (ux −vy )dxdy
k
sn = ∑ f (ζk )(zk − zk−1)
n
记 ∆zk = zk − zk−1 , 弧段 zk−1zk 的长度为 δk , 若当 n →∞,δ = maxδk →0 时, 和式 n有唯一的极限 则称 和式s 有唯一的极限, 1≤k≤n 极限为函数 f (z)沿曲线 c 的积分 记作 ∫c f (z)dz , 沿曲线 的积分.记作 n 即： f (z) dz = lim∑ f (ζ )(z − z )