第一节 导数
充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处
满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
第二章解析函数演示文稿
优选第二章解析函数
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某
点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为 函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
第一节 导数
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z) 在区域B内可导
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1 2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处 处不可导
可导必连续
第一节 导数
求导法则
d dz
1
2
d1
dz
d2
dz
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
第二节 解析函数
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析 函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
d dz
1
2
1
d2
dz
2
d1
dz
d dz
1 2
12 12 22
d 1 dz dz d
dF() dF d dz d dz
第一节 导数
几何意义
导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过 =f(z)映射后 在z0处的转动角
=f(z)
d df (z0 ) dz(t0 )
dt tt0
z, f (z) ez , z Re z
设函数 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ) 问当a,b,c,d取何值时，函数f(z)在复平面上处处解析？
如果函数f(z)的导数在区域D内处处为零，那么函数 f(z)在D内为常数。
第二节 解析函数
解析函数的主要性质
x x y y
逆命题不成立
f (z)
Re
z
Im z
xy ,
xy 0
在z=0处不可导
i | xy |, xy 0
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Cauchy
1789年8月2l日出生生于法国巴黎，是一位虔诚的 天主教徒。18l3年在巴黎被任命为运河工程的工 程师；1816年先后被任命为法国科学院院士和综 合工科学校教授；1821年又被任命为巴黎大学力 学教授。1832-1833年任意大利都灵大学数学物理 教授；1833-1838年柯西先在布拉格、后在戈尔兹 担任波旁王朝“王储”波尔多公爵的教师，最后 被授予“男爵”封号。1838年回到巴黎。于1848 年担任了巴黎大学数理天文学教授。
Cauchy-Riemann条件
必要条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内点z=x+iy可导，则有
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
u v , v u x y x y 3. 在z点处的导数 f (z) u i v v i u .
说明
1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数 在B内可导
2. 称函数的不解析点为奇点
第二节 解析函数
3. 解析函数的充分必要条件 函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内 可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann 条件
4. 解析函数的充分条件 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足 (1) u(x, y)和v(x, y)在B内的偏导数存在且连续； (2)在B内每一点满足Cauchy Riemann条件 那么f(z)在B内解析。
第二节 解析函数
举例
判断下列函
举例
dez ez dz
dLnz 1 dz z
d sin z cosz dz
d cosz sin z dz
d sinh z coshz dz
d coshz sinh z dz
第二节 解析函数
解析函数的概念
设函数 =f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数 f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析， 则称f(z)在区域B内是解析函数
dz
dt
Argf '(z0)
第一节 导数
导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过 =f(z)映射后通过z0的 任何曲线在z0的伸缩率
=f(z)
lim f (z) f (z0 ) lim exp( i) lim ei( )
zz0
z z0
zz0 r exp( i ) zz0 s
第一节 导数
f
(z)
zz
sin
1 zz
,
z0
0,
z0
其实部在原点不连续
第一节 导数
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 df (z) u i v v i u dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , v 1 u r r r r
举例
f (z) z2
实部
虚部
f (z) sin z
实部
虚部
最大和最小值只能在边界上达到
第二节 解析函数
给定实部或虚部，求解析函数
例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。
数理弹性理论的奠基人之一。在单复变函数、分析基础理论、 常微分方程、积分几何、代数学等领域做出了开创性的贡献。
第一节 导数
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可 导的充分必要条件是
1. u(x, y),v(x, y)在(x, y)点处可微； 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件