相当应力表达式
第一类强度理论
（脆断破坏的 理论）
第1强度理论
—最大拉应 力理论
第2强度理论
—最大伸长 线应变理论
σr1 σ1
r 2 1 2 3
第二类强度理论
（屈服失效的 理论）
第3强度理论
—最大剪应 力理论
σr3σ1σ3
第4强度理论
—形状改变
r 4 1 21 2 22 3 23 1 2 1 2
其形状改变比能也相等，故两种情况下的危险程度相
等。
σ
σ
τ
τ
(a)
(b)
二、定量计算
状态(a):1Βιβλιοθήκη 22 22
3
2
2 0
2 2
2
r4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
232
状态(b): 设 ，则
1 2 3
r4
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
232
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材 料就会沿最大拉应力所在截面发生脆性断裂。
基本假说：最大拉应力1是引起材料脆断破坏的因素。 脆断破坏的条件： 1 = u （材料极限应力值）
强度条件为： r1 = 1 [
(9-2-1)
注意：无拉应力时，该理论无法应用。
二、 最大伸长线应变理论（第二强度理论） 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料
τmax12(13)
即
σ1σ3σs
强度条件为： r3 = 1 - 3 [
(9-2-3)
四、 形状改变比能理论（第四强度理论）
基本假说：形状改变比能 uf 是引起材料屈服的因素。
屈服条件： uf = uf u
1 ν
2
2
2
u f6 Eσ 1 σ 2 σ 2 σ 3 σ 3 σ 1
100M Pa 100M Pa
r 3 1 3 0 1 0 1M 0 0 a 0 P(a)
r 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1 201020100102010002
10M 0 Pa
（2）对于图 b 所示的单元体，
110M Pa
由图知 1=140MPa，2=110MPa , 3=0
两种情况下的危险程度相等。
单轴受拉时:
σ 1σ s σ ,2σ 30
代入上式，可得材料的极限值
ufu16 E ν22 s
强度条件为：
r41 2 12 2 23 2 31 2
(9-2-4)
五、强度条件的统一形式
r
其中: r 称为相当应力
σ2
σ3
等效为
σ1
σ1
σr
σr
σ3
σ2
强度理论的分类及名称
就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生 脆断破坏。
基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素。
脆断破坏的条件： 1 u （材料极限应变值）
若材料符合胡克定律,则最大伸长线应变为
1E 1[1(23)]
即 [ σ 1 ν ( σ 2 σ 3 ) ] σ u
强度条件为:
[ ( ) ]
r4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1 29.472502505.2825.28 9.4722
7.75MPa
例题 9-2 两种应力状态分别如图所示，试按第四强度理论, 比较两者的危险程度。
解：一、定性分析
由于各向同性材料，正应力仅产生线应变，剪应力 仅产生剪 应变。而两种情况下的正应力和剪应力分 别相 等，因此，
r3131M 40Pa (b)
140M Pa
r 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1214011201100201420
12M 8 Pa
（3）对于图 c 所示的单元体，
70M Pa
由图知: 1= 80MPa ， 2= –70MPa , 3= –140MPa
r 2 1
23
(9-2-2)
第 二 类强度理论
三、 最大剪应力理论 (第三强度理论) 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会 沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。
基本假说： 最大剪应力 max 是引起材料屈服的因素。
屈服条件：
τmax τu
σs 2
在复杂应力状态下一点处的最大剪应力为
解：求主应力 由图知 : x=30MPa， y=70MPa， xy= - 40MPa 可求得
70M Pa 40M Pa
30M P
1 3
30
2
70
30
2
70
2
40
2
94 .72
50 20 5
MPa
5 .28
50M Pa (d)
2 50 MPa
r 31 3 9.7 4 5 2 .2 8.4 9 M 4 a P
比能理论
注意：按某种强度理论进行强度校核时， 要保证满足如下两个条件:
1. 所用强度理论与在这种应力状态下发生的 破坏形式相对应;
2. 用以确定许用应力 [ 的,也必须是相应于该 破坏形式的极限应力。
例题 9-1 对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第 四 强度理论求相当应力。
解： （1）对于图 (a) 所示的单元体， 由图知 1= 0，2= 3= –100MPa,
§9 - 2 四个强度理论及其相当应力
在常温、静载荷下，常用的四个强度理论分两类
第 一类强度理论——以脆断作为破坏的标志
包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
第 二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志
包括：最大剪应力理论和形状改变比能理论
第 一类强度理论
一、 最大拉应力理论（第一强度理论）
80M Pa
r 3 1 3 8 0 1 4 2M 0 2 a 0 P (c)
140M Pa
r 4 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
1280702701420140802
19M 5 Pa
（4）对图d 所示的单元体,计算 r3 ,r4