结论4： 应力分量为x、y 的二次函数分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。

h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
应力函数：
ay
3
可解决 y
如图a所示应力边界的矩形截面梁 的纯弯曲问题应力分布问题。
但若坐标系位置不同，对应的应
x 图a x
力边界也不同，同一个应力函数， 如图b的坐标系，为梁的偏心受拉 （或受压）问题。 y 图b
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
（只解出应力分量，位移分量后面再介绍）
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
应力函数 ϕ 解法将平面问题的一组方程简化为相容方 程式（2-25）的一个方程，问题得到大大简化。理论上 只需求解一个方程（2-25）就可以得到应力分量，如果 应力分量满足应力边界条件，则所得应力分量就是问题 的正确解答。 数学上能够找到很多满足式（2-25）的双调和函数， 但是要找到同时能满足应力边界条件和双调和方程的函 数却十分困难。
ax by c
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
公式推导
（1）
ax bxy cy
2
2
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y 2 x 2 2c y
4 24a 4 x
得
代入：
4
0
24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
3a c 3e 0
其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
（4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
例1：已知函数=a(x4 -y4)，试检查它能否作为应力函数？ 若能，试求出应力分量（不计体力），并求出如图所示矩 形薄板边界上的面力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
解：按逆解法 1、将=a(x4-y4)代入相容方程，可知其是满足的。因此 ，它有可能作为应力函数。 2、将代入式（2－25），得出应力分量：
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
半逆解法：是根据弹性体的形状和受力情况，推测假设 可能的（部分或全部）应力分量表达式，由应力分量反推出 可能的应力函数的形式，然后带入双调和方程确定应力函数 具体表达式， 由（2-24）求出应力分量，看其能否满足边界 条件 ，若满足则问题即告解决，若不满足则另作假设，重新 求解。——是针对具体问题， “凑”出一个满足所求问题边 界条件的双调和函数。
为了能获得问题的解答，采用逆解法或半逆解法。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
1.逆解法与半逆解法
逆解法：事先设定应力函数[双调和函数（2-25）]，根 据（2-24）式可得到应力分量，看这个应力分量能满足哪些 应力边界条件，由此可以确定所设定的应力函数能解决什么 样的问题。——不针对具体问题，用于积累弹性力学的基本 解答。类似于查表法，在已经得到的一族函数中查找与所要 求解的问题一样的情况，直接引用其解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
逆解法步骤： （1）先找出满足双调和方程（2-25）的解答- ϕ ， （2）由式（2-24）计算出应力分量， （3）根据应力分量表达式及（2-15），由应力反推出相 应各边界的面力， （4）所的解答即是该面力边界作用下弹性体的解答。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
4）应力函数 ϕ为四次多项式
（ 1）
公式推导
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
4 4 2 2 2 8c 24e 4 x y y
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
应用举例：
0
例： 试求图示板的应力函数。
0
0
x y
x y
cy 2； x 2c, y 0, xy yx 0 x 0 , y 0, xy yx 0
( x, y )
0
bxy； x 0, y 0, xy yx b x 0, y 0, xy yx 0
内容要点： 利用上一节的逆解法结果，选取与之对应的应力函数 求解梁纯弯曲的应力分量表达式。
2.逆解法举例——多项式解答
2）应力函数 ϕ为二次多项式
可解决的问题（分析边界条件）： （1）应力函数： ax 2 应力分量 x 0, y 2a, xy yx 0
2a
O x
2a
y b o x
bxy 应力分量 x 0, y 0, xy yx b
2 ( x, y ) 2 x f x 12 ay x y 2 2 ( x, y ) 2 y f y 12 ax y x 2 2 ( x, y ) xy 0 xy
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
逆解法举例说明:体力为零的情况下的一系列多项式解答。 将应力函数 ϕ 设定为一系列关于弹性体中点坐标 （x，y）的一系列多项式函数ϕ （x，y） ，按照逆解法 步骤看每个多项式解函数 ϕ 能够解决哪类弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
M
l
图示梁对应的边界条件：