第12讲逆解法与半逆解法
内容回顾
如果体力是常数（如重力）时，引入应力函数Φ 后，其应力分量可以表示为：而应力函数还应该满足如下的双调和条件：
除此之外，应力分量还应该满足相应的边界条件位移单值条件（对于多连域）22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y
444442220x x y y
1.逆解法
所谓逆解法，就是先设定各种形式的满足相容方程的应力函数Φ。

然后利用应力函数计算出各应力分量，根据边界条件来考察，这样的应力函数对应于什么样的弹性力学问题。

444442220x x y y 22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y
2.逆解法之多项式解答
下面在忽略体力的条件下，用逆解法，求出几个简单平面问题的多项式解答，以熟悉逆解法。

1）一次函数a x by c
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 应力分量444442220x x y y 相容方程
将一次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分量，得。

00, 0,x y xy 结论：（1）一次应力函数对应于无面力无应力状态；
（2）应力函数加减一次项，不影响计算结果。

2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y
2）二次函数2ax 将二次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分
量，得
结论：纯二次函数对应于沿
坐标轴方向单向均布拉力模型。

0, 2,x y xy a
2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y
444442220x x y y
3）二次函数bxy
将二次函数代入相容方程，
可以满足；再代入应力分
量，得
结论：xy 二次函数对应于沿
表面受均布剪力的模型。

0, 0,x y xy b
2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y
4）二次函数2cy 将二次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分
量，得
00
2,,x y xy c 结论：纯二次函数对应于沿
坐标轴方向单向均布拉力模型。

2.逆解法之多项式解答
22222, ,.x x y xy y y x x y x x y f f y 444442220x x y y
5）三次函数3a y 将三次函数代入相容方程，可以满足；再代入应力分
量，得
,006,x y xy ay 结论：纯三次函数可以解决纯弯曲问题。

（下章详细解决）−+M
M h l 2h 2h y x
σx
σx y
1
3.半逆解法
所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据其边界条件，假设出部分或者全部应力为某种形式的函数，从而反推出应力函数Φ。

然后根据相容方程和剩余的边界条件，确定出其余的应力分量。

这是一种常用的方法。

（下一章详细介绍）
说明：
u逆解法和半逆解法都是比较重要的求解方法；
u逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。

4.本章小结
本章主要内容
①明确了两类平面问题：平面应力问题和平面应变问
题，确定了8个基本未知量；
②建立了有关8个基本未知量间的3类方程（平衡方程、
几何方程、物理方程）；
③边界条件（应力、位移、混合）；
④圣维南原理及其在边界条件中的应用；
⑤弹性力学问题的一般求解途径（位移法和应力法）；
⑥逆解法和半逆解法。

本章要求：对上述6个重点内容中的有关公式，要会推导，并且牢记。

本章结束！。