《参数方程和普通方程的互化》导学案31. 了解参数方程化为普通方程的意义.2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.课标解读3 .掌握参数方程化为普通方程的方法知识梳理参数方程与普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程,|x= f t求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数i y= g t方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.思考探究普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同课堂互动|x= a+1 cos 0 ,例题1在方程y= »+ t sin 0, （a，b为正常数）中，(1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?非零常数时，利用平方关系消参数0，化成普通方程，进而判定曲线形状.x = a + t cos 0 ,①【自主解答】方程*(a , b 是正常数)，|y = b + t sin 0 ,②(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.■/ cos 0、sin 0不同时为零， •••方程表示一条直线.(2) ( i )当t 为非零常数时，即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.(ii)当t = 0时，表示点(a , b ).1•消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形•另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e —x )22x —x 21 — k2 2k 2-(e -e )=4,("+ E=1 等.2•把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线.将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状:x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n );|y = 2s in 0r44x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2( 0为参数)；|y = 1 — 2sin 0 cos 02 2x — a③2+④得—cos 0，—sin0 . 2y — b2■=1, ④「X —a I t原方程组为\¥（a , b 为大于零的常数，1为参数）•x = 1 — 2sin 22 0 ,• x — y = 0. 2T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.2 21 一所以方程x — y = 0（2W x W 1）表示一条线段.⑶ T x = |(t + p),由 x =a (t +1),2 a 21两边平方可得x = -（t + 2 +严）①b 1由y = 2（t — 1）两边平方可得 2 b 2 2 1y 2= 7( t 2— 2+右)②2 211x y①xp —②x 亡并化简，得——2= 1(a , b 为大于 a b a b1t +1【解】x= 2cosy = 2sin两式平方相加，得x 2+ y 2= 4.T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.所以方程的曲线表示圆心为（0,0），半径为2的圆的上半部分. （2）由彳f・ 4 c 4小x = sin 0 + cos 0 ,I I2 2y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 22 0 cos 0 ,20 cos 0 ,即』| y = 1 — 2sin 22 0 ,••• t >0 时，x € [a , +) , t <0 时，x € ( —a.a ] •0的常数），这就是所求的曲线方程,【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解【思路探究】 联想sin 2 B+ cos 2 0 = 1可得参数方程.x — 1y + 2【自主解答】 设 =cos 0 ,= sin 0 ,x = 1 + 3cos 0 ,则^( 0为参数)，即为所求的参数方程.y = — 2 + 5sin 0 ,1•将圆的普通方程化为参数方程 (1) 圆x 2 + y 2 = r 2的参数方程为x = r cos 0 (0为参数);y = r sin 0222x= a + r cos 0(2) 圆(x — a ) + (y — b ) = r 的参数方程为*」 (0为参数).y = b + r si n 02.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x = f (t ),再计算y = g (t )),并且要保 证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 x = f (t ),y = g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x , y 的取值范围保持一致.设y = tx (t 为参数)，则圆x 2+ y 2—4y = 0的参数方程是 _______________4tx= 1 + t 2利用参数思想解题例题3 已知x 、y 满足x 2 + (y — 1) 2= 1,求:(1) 3 x + 4y 的最大值和最小值；例题2曲线的普通方程为 x-1 3 y+2 51，写出它的参数方程.【解析】 把 y = tx 代入 x 2+ y 2— 4y = 0 得 x = +孑,4t2,4t (t 为参数).【答案】4t 2y= 1+2・(t 为参数)•••参数方程为1 + t4t 2 1 + t 2.(2) ( x—3)2+ (y+ 3)2的最大值和最小值.【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解rAx = cos 0 ,【自主解答】 由圆的普通方程 X 1 2 3+ (y — 1)2= 1得圆的参数方程为＜y = 1 + sin 0 ,(0 € [0,2 n )).(1)3 x + 4y = 3cos 0 + 4sin0 + 4=4+ 5sin( 0+0 ),3其中tan 0 = 4,且0的终边过点(4,3)-—5W 5sin( 0 + 0 ) w 5,••• — 1w 4+ 5sin( 0 + 0 ) w 9,••• 3x + 4y 的最大值为9,最小值为一1.2 2(2)( x — 3) + (y + 3)=26 + 8sin 0 — 6cos 0=26 + 10sin( 0 + 0 )・ 其中 tan 0 = — ^, 且0的终边过点(4 , — 3).••• — 10w 10sin( 0 + 0 ) w 10,•- 16w 26+ 10sin( 0 + 0 ) w 36所以(x — 3)2 + (y + 3)2的最大值为36,最小值为16.1 参数思想是解决数学问题的重要思想， 在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用, 它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁.通过参数 0，间接建立曲线上任意一 点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程.它是研究解析几何问题的重要工具.2 运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于 与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用， 选择时间为参数.3 (1)解决与圆有关的最大值和最小值问题， 函数的最大值和最小值问题. (2)注意运用三角恒等式求最值：a sin 0 +b cos 0 = , a 2 + b 2sin( 0+0 ).决.2=(cos 0 — 3) + (sin 0 + 4)常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常常常设圆的参数方程， 然后转化为求三角b其中tan 0 =-（a z 0），且0的终边过点（a , b ）.a若本例条件不变，如何求 缶的取值范围?k =凹=3 +前0x + 1 1 + cos 0/• sin 0 — k cos 0 = k —3即钉 1 + k sin( 0 + 0 ) = k — 3.( © 由 tan 0 = — k 确定)k 一 3sin( 0 + 0 ) = ----------- 2k — 3依题意，得I —” k 』w 1, •••(-门2w 4, 解得 k 》3. 所以缶的取值范围是［|，+m ）.）课堂练习l|x= 2 + sin 5 01 .将参数方程 2（ 0为参数）化为普通方程为（）|y = sin 0C. y = x — 2(2 w x w 3) D . y = x + 2(0 < y w 1)【解析】 消去sin 20，得x = 2 + y ,2又 0w sin【答案】4x= t 1【解】 由于 =cos 0 ,y = 1 + sin 0,( 0C [0'2 n ))，2.把方程 xy = 1化为以t 为参数的参数方程是（） x = sin t A. 5 y = t —B. 1 y= sin tA. y = x — 2B . y = x + 20 w 1,.・.2w x w 3.x = cos t1y = -------cos t,=tan t1 y= ta n t【答案】 D【答案】 D数），若以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为【解析】 消去a 得圆的方程为x 2 + (y — 2)2= 4. 2 20 代入得(p cos 0 ) + ( p sin 0 — 2) = 4,整理得 p4sin 0 .【答案】p = 4sin 0课后练习（时间40分钟，满分60分）x = |sin 0 |1 .曲线（0为参数）的方程等价于（ ）y = cos 0C.<3.圆 x 2 + (y + 1) =2的参数方程为（）x = 2cos 0y = 1 + 2si n 00为参数）B. *X = ^J2cos 0 y = 1 + 2sin（0为参数）x = 2cos 0叫=—1 + 2sin（0为参数）x = ^/2cos 0 y = —1 + *.』2si n（0为参数）【解析】 由x = 2cos0 , y + 1= 2sin 0知参数方程为x = ^2cos 0 ,y =— 1 + 2sin 0 .（0为参数）.故选D.4. （2013 •郑州模拟）在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为x = 2cos a , y = 2 + 2si n a（a 为参将 x =p cos 0 , y =p sin、选择题（每小题5分,20分)2C . x = 1 -1x = cos 0D. i y = sin 2 0【答案】3sin 0 + cos 0 = 2sin( 0+^6),故x + . 3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B二、填空题（每小题5分，共10分）x = 3+ cos 0 ,5.曲线/（ 0为参数）上的点到原点的最大距离为y = — 4 + sin 0 ,A. x =1 — y 2C. y =±1 — x 2D .【解析】 由x = |sin B . y = 1 —x 20 | 得 O w x w 1;由 y = cos 得—K y w 1.故选A.【答案】 A 2. 参数方程= 3t + 2yd -1,（0w t w 5）表示的曲线是A. 线段 •双曲线的一支 C. 圆弧.射线【解析】消去t , 得 x — 3y — 5 =0.•/ 0w t w 5,【答案】 A3.能化为普通方程x 2 + y — 1 = 0的参数方程为（x = sin t A. i 2 y = cos tB. x = tan © 4y = 1 一 tan ©【解析】 排除A D,只有B 符合.4. 右x , y 满足x 2 + y 2= 1，则x + 3y 的最大值为 A. C.【解析】由于圆x 2+ y 2= 1的参数方程为x = cos y = sin（0 为参数），则 x +'：；：；： 3y =【解析】 设Mx , y )是曲线 上任意一点,y =— 4+ sin 03 + cos~02+ — 4+ sin 0 2= 26 + 6cos 0 — 8sin 0 --------- -- ------------------ 3=\ '26 + [1 ]] 0 + $ ( $ 由 tan $= — 确定)当sin （ 0 + $ ） = 1时，|OM 取最大值6.【答案】 66. （2013 •重庆高考）在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建 ,，一十 亠,，一、十,,，亠八,,,,, x = t 2, ,、 立极坐标系.若极坐标方程为 p cos 0 = 4的直线与曲线 3（t 为参数）相交于A ,i y =t B 两点，贝U | AB = _______ . 【解析】由P c os 0 = 4，知 x = 4. 又严t 2,• x 3= y 2(x >0). y =t ，x = 4,x= 4, x = 4, 由3 2 得* 或* x = y , y = 8y = — 8 •••I AB = 1—1 2+ 屮 2= 16.【答案】 16三、解答题（每小题10分，共30分）通方程.— 1 2 1【解】 由x = t —一两边平方得x = t + - — 2,1 1 y又 y = 3(t + f )，则 t +1 = 3(y 》6).代入 x 2= t +1 — 2,得 x 2 = y — 2.2• 3x — y + 6 = 0( y >6).故曲线C 的普通方程为3x 2— y + 6= 0(y >6).8.已知P (x , y )是圆x + y — 2y = 0上的动点.(1)求2x + y 的取值范围；x = 3+ cos 0 （t 为参数，t >0） •求曲线C 的普7.已知曲线C 的参数方程为 y = t +⑵若X+ y + O0恒成立，求实数c的取值范围.【解】方程X2+ y2— 2y = 0变形为x2+ (y —1) 2= 1.「•1 — W2 x+ y w 1 +、..:5.(2)若x+ y + O0 恒成立，即c>— (cos 0 + sin 0 + 1)对一切0 € R恒成立.一(cos 0 + sin 0 + 1)的最大值是i'2 —1.•••当且仅当O 2—1时，x + y+ c>0恒成立.9. (2012 •福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M N的极坐标分别为(2,0),(学，寺)，圆C的参数"x = 2 + 2cos 0 ,方程为(0为参数).①设P为线段MN勺中点，求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线I与圆C的位置关系.【解】①由题意知，M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 ,l上两点M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 , —),所以直线l的平面直角坐标方程为x+ 3y —2 = 0.又圆C的圆心坐标为(2 , —3)，半径为r = 2,|2 一3 一2| 3圆心到直线I的距离d= _2—= 2<r,故直线l与圆C相交.2x + y—1 = 0,知x € R, y w 1.其参数方程为X = cos 0 ,为参数).乎).又P为线段MN 的中点，从而点P的平面直角坐标为(1 , ，故直线OP的平面直角坐标方程为②因为直线所以直线y = 1 + sin 0 .。