q B
A
A
变形图 (b) A q
A
B C
MAB
(c)
A
MAC
A
FP
16
得到的是杆件的刚度方程。此时，可以获得各杆 端弯矩的表达式。 ① AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位 移A、，并承受已知荷载q的作用。
M AB 6i ql 2 4i A l 12
形常数
i
附加转动约束
E B F C
确定角位移图
确定线位移图
n=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=3
6
(a) D A
C E
(b) D
C
E
B
A
B
确定线位移图
n=3(C、D、 E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5
( a) B A C D E F G (b) B C D E F G
此时B结点产生固端弯矩。
12
q A B
q
B 0
F M BA 0
C B
F M BC
C
F M BC
ql 2 8
3、令B结点产生转角B( 单跨超静定梁。 A i A i
)。
此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角B的 B i B
B
C
i
B 3i B
B
3i B
B
EI —线刚度 l
二、基本未知量
力法：力法的基本未知量是多余未知力； 位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位 移(角位移和线位移)。
位移法与力法一样，求解的第一步就是要确定
结构的基本未知量。
4
基本未知量的确定：
基本未知量数目n=结点角位移()数+独立的结点 线位移()数 结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定) 附加转动约 束(刚臂约 束)：只阻 止结点的转 动，不阻止 结点的线位 移。
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9) (d)

(1) 当不考虑轴向变形时，(4) (2) 当考虑轴向变形时，(9)
(1) 当0时，(3) (2) 当=0时，(2)
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点 (不包括支座结点)的转角或线位移。 2、选取内部结点的位移作为未知量就满足了变形 协调条件；位移法方程是平衡方程，满足平衡条件。 3、附加支杆和附加转动约束后的体系称为原超静 定结构的基本结构。 4、支座结点的可能位移不作为位移法基本未知量 的原因是： (1) 减少未知量的数目 ； (2) 单跨超静定梁 的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移 ( 转角
第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位 移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。
第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位
移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。
3
位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转 变为简单杆件的分析与综合的问题。 杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是 位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。
i
C
13
4、杆端弯矩表达式(两种情况叠加)
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
B
5、建立位移法方程 由结点B平衡可得
2 ql 3i B 0 3i B 0 M B 0 M BA M BC 8 2 ql 2 ql 3i B 3i B 0 6i B 0 8 8 ql 2 6i B B 0 6、求解基本未知量 8
M AB M AC 0
6i ql 2 3FPl 7i A 0 l 12 16 （a）
FQAB
A
AC
MAB FP MAB
18
x 0
FQAB 0
A
C
ql 2 M B 0 FQAB l M AB M BA 2 0
FQAB M M 6i A 12i ql ql ( AB AB ) 2 l l 2 l l 2
、线位移)的影响，如下图示。
10
q A
M
F AB
q
B
ql 2 8
A
F M AB 2 ql F M BA 12
B
A
A
i EI / l
B
A
A
i EI / l
B
M AB 4i A
M BA 2i A
M AB 3i A
5 、位移法的基本结构可看作单跨超静定梁的组
1、两端固定梁 i EI
A
l
M AB 4i A M BA 2i A
EI
B
A

A
i
A
B
l
MAB
B
MBA
M AB 2i B M BA 4i B
A
i
MAB
B
i
MBA
B B
A
A
EI
B
l
B

A

24
M AB
6i M BA l
6i M AB 4i A 2i B 也叫转角 l 位移方程 6i M BA 2i A 4i B l 由杆件平衡可得： F F 1 ( M M ) QAB QBA AB BA l 6i 6i 12i A B 2 l l l
22
2、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 FP A D B C
B( )
C( )
3、杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移的正负号与弦转角的正负号 一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 A
l
B

A
l
B
23
二、等截面直杆的刚度方程(形常数)
合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁
在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
11
三、位移法的解题步骤(解题途径) 示例1：作图示两跨连续梁的弯矩图。
A B EI l q
B
EI l
C
1、确定基本未知量
取结点 B的转角B作为基本未知量，这就保证了
AB杆与BC杆在B截面的位移协调。 2、在B结点加附加转动约束( )。
(1) 将求得的 A 、 代入杆端弯矩表达式，可求 出杆端弯矩的值。
(2) 根据杆端弯矩的值，利用与静定结构作弯矩
图的相同方法可获得超静定结构的弯矩图。
这里主要是介绍的位移法求解超静定结构的基
本过程与方法，具体的计算后面给出。 值得指出的是： 在确定结构的基本未知量之前引入假设：对于 受弯杆件，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
A
B
C
3ql 2 32
M图
15
示例2：作图a示刚架的弯矩图。 主要介绍位移法的解 题途径。 1、确定基本未知量
q
A
FP
EI、l
C
A、A=
2、设法求出A、
方法：把结构拆成杆 件(图b、c) (1) 杆件分析：就是杆 件在已知端点位移和已知 荷载作用下的计算问题。
EI、l (a) B FP C A
FQAB
A FP
MAB A FQAB
C
即：
6i A 12i ql 2 0 l l 2
q
(b)
B FQBA MBA
(3) 求基本未知量A、
联立求解方程(a)和(b)即可获得结点位移A、 。 位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移 一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。
19
3、作弯矩图。
20
§7-2 等截面直杆的刚度方程
位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座
移动和外荷载作用时的杆端力的计算。 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单 跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支 梁；一端固定、一端滑动梁。 用到的数据是：形常数和载常数。 (1) 已知杆端位移求杆端弯矩——形常数；
EI MBA A i l
MAB MAB
(1) A
B

A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
M BA
6i 2i A l
29
(2)
MAB EI A i l
MAB
A
M AB
MAB i EI
B

A
A
EI i l
B
3i 3i A l
第七章 位移法
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 位移法基本概念 等截面直杆的刚度方程 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 剪力分配法 对称结构的计算 支座移动、温度变化及具有弹簧支座 结构的计算
位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方 法，它比力法有更大的优越性和通用性。位移法不但 可以计算超静定结构，也以可用来解静定结构。 矩阵位移法：随计算机的发展而形成的； 位移法 衍生出 的方法
上式就是两端固定梁的刚度方程。
等号右边矩阵中的系数称为刚度系数，即产生单 位杆端位移所需施加的杆端力。 刚度系数是只与杆件的截面尺寸和材料性质有关 的常数，又称为形常数。
26
2、一端固定、一端简支梁
M AB
M AB 3i A
A
EI
B
A

A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
25
6i 4 i 2 i l M AB A 6i 4i M BA 2i B l F QAB 6 i 6 i 12 i 2 l l l
EI (线刚度) l
q