12
2
位移法

等截面直杆的转角位移方程

位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
位移法原理（超静定刚架而言）
附加刚臂约束结点转角
原结构
附加链杆约束结点线位移
7
A
E
F

刚度无穷的影响——E、H转角为零 变截面杆的影响——截面突变处有角位移和线位移 如BD杆上移高于变截面处，如何？ 增2个未知量
8
位移法的基本未知量和基本结构

位移法的基本未知量和基本结构

刚度无穷的影响
C B EI EI1＝ B EI D
1个位移法基本未知量
C
D C B D

桁架位移法未知量 6个位移法基本未知量 一般结点有2个独立线位移 支座结点只有未被约束的线位移 结论：未知量数＝2×结点总数－支座链杆数 注意：静定部分排除在外
M BA M BC M BD
F
3
Nyi
FP 0
的函数，一个未知量
的函数，一个未知量
4
位移法的基本未知量和基本结构

位移法的基本未知量和基本结构

位移法的基本未知量：结构关键位移 结构关键位移：对确定内力而言充分、必要、独立 结点独立位移：角位移、线位移 注意：刚架杆无轴向变形；静定部分无关键位移
16
i
EI l Δ AB l
固端弯矩
杆件线刚度
弦转角
杆端剪力由平衡方程求出
一固一铰等截面直杆的转角位移方程

一固一定向铰等截面直杆的转角位移方程

用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
q
MBA
A
A
A
B
A
B
FQAB
AB
B
FQAB
MAB
用力法导出杆端弯矩的一般公式
MAB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
FQAB
B
FQBA
B
AB
=AB/l A
q B
A
A
MBA
M AB 4i A 2i B 6i
AB

FQAB
B
FQBA
15
B
M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l
24i r33 2 l

副系数可正、负、零 反力互等 rij＝rji

外荷载及位移法各未知量同时作用，利用转角位移 方程列出各杆件的杆端力，根据结点和截面平衡条 件列出位移法方程 q
Z1
自由项 位移法方程
R3 P FP
q 2i
Z2 Z3 Z1
Z1
Z2
自由项可正 负 零 自由项可正、负、零
M DB
6i Z3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A FP C
FQCA MCD MCA
28
位移法的典型方程（r13、r23、r33）
r13 6i /l C 0 6i /l D r23 C
r13 Z3=1 6i/l r23 r33
位移法的典型方程（R1P、R2P、R3P）
R1
P
R2P ql2/12 ql2/12 D
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
D
FP C D
6i/l
C
r13
31
B A
MCD MCA MDC MDB
32
l
B FP C
FQCA
q D
FQDB
D
倾角变位法－转角位移方程

倾角变位法－转角位移方程
Z1
转角位移方程
M AC 2iZ 1 M CA M BD M DB 6i Z3 l 6i 4iZ 1 Z 3 l 6i 2iZ 2 Z 3 l 6i 4iZ 2 Z 3 l
A 2i
－
r12 4i r21
r32 D FQCA＝-6i /l
r22 4i 8i 12i
A
－
B 2i
M1图 C FQCA＝-6i /l
M2图
r31
C FQDB＝0
r32
4i 2i 6i r23 l l
附加约束力与关键位移方向一致为正
27
附加约束力与关键位移方向一致为正
r21 r22 r23
R2 P
r31 r32 r33
R3 P
Z1＝1 产生的各附加约束力 Z2＝1 产生的各附加约束力 Z3＝1 产生的各附加约束力 外载产生的各附加约束力
26
系数项

位移法方程的物理意义？ 变形协调方程何处体现？
25
自由项
位移法的典型方程（r11、r21、r31）
r11 4i C 8i 4i D 0 r21

FP C i A l C D i
C
Z3
D
Z2
C
Z3
D
12iZ 1 4iZ 2
6i ql 2 0 Z3 M Mi Zi MP 12 l Z1 、 Z2 、 Z3 2 6i ql F Q FQi Z i FQP 4iZ 1 12iZ 2 Z 3 0 12 l FN FNi Z i FNP 6i 6i 24i Z 1 Z 2 2 Z 3 FP 0 l l l
ql 2 12 ql 2 4iZ 1 8iZ 2 12
33
q C
Z2

转角位移方程
FQCA FQDB 6i 12i Z1 2 Z 3 l l 6i 12i Z2 2 Z3 l l
Z1
Z1
q C
Z2
Z1
D
C
Z3
Z2
Z3
D
D
C
Z3
Z2
Z3
D
A
B
M CA 4iZ 1
6i r31 l
r23
r33 D
6i r32 l r33 2
6i/l
A
－
6i/l
B
M3图
R1P
ql 2 12
R3
R2 P
ql 2 12
A MP图
B
C FQDB＝6=12i /l2
FQCA＝-12i /l2
6i 6i 24i 2 l2 l
FP C 0 D 0
位移法

位移法的基本概念

位移法的基本概念 位移法的基本未知量和基本结构 等截面直杆的转角位移方程 位移法原理与位移法方程 位移法解超静定结构 对称性的利用 支座位移、温度变化等下的位移法计算
解超静定结构的两种基本方法 力法 未知量 方程 系数 特点 多余约束力 变形协调 柔度系数 超静定变静定 位移法 结点独立位移 平衡条件 刚度系数 原结构变三类基本杆件
r11 r12 r13
R1P
Z1
q 2i
Z2 Z3
FP C i A 基本结构 D i B
附加刚臂、链杆 锁住关键位移

各 Mi MP 图
－
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程
转角位移方程：外载和全部关键位移同时发生 用转角位移方程 写出杆端内力
结点弯矩平衡 截面力内外平衡
位移法方程 平衡方程 设定关键位移时
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
M AB

Δ F 3i A 3i AB M AB l

FQAB
式中B端转角不出现 杆端剪力由平衡方程求出
17
式中B端线位移不出现 杆端剪力
F FQAB FQ AB
C B D G
6个位移法基本未知量
C B D G
刚架位移法基本未知量
E B D EA＝ EI C EI EI1＝ H EI G 2EI F
5个位移法基本未知量
E B D H G
A
E
F
A
E
F A
2EI
A
C
F

4 刚结点加刚臂 独立线位移处加链杆 2
C B D G

铰接图要成为几何不变体系 时所需加的链杆数
21
22
位移法原理与位移法方程

位移法原理与位移法方程（刚架）
q FP
Z1
位移法原理
附加刚臂、链杆 约束关键位移 满足平衡条件
q 2i
Z2 Z3
R1P
ql2/12
q
R2P R3P
FP C i A 2i D i l
4i
FP C D
以关键位移为基本未知量
基本结构
C
D i
=
i A 基本结构
=
B A MP图
=1
6i/l
=AB/l A
q B
=1
A 3i B
3i/l A
A
A
MBA
B
=1 =1
A i
19
FQAB
B
FQBA
B
AB
B
EI i l
M AB 4i A 2i B 6i M BA
ΔAB F M AB l Δ F 4i B 2i A 6i AB M BA l

三类基本构件＋静定部分 基本结构