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§7-1位移法基本概念
位移法基本方程：

i 1 5
EAi sin 2 i FP li
FP EAi sin 2 i i 1 li
5

关键的一步！
将杆数由5减少为2，这时的结 构是静定的；如果杆数大于 （或等于）3时，结构是超静 定的。
以上两种情况都可以用上述 方法计算！
(2) 杆件转角以顺时针为正 , 反之为负。杆件两端在垂直 于杆轴方向上的相对线位移 ΔAB （侧移）以使杆件顺时针转 动为正,反之为负。 B A B A θB
θ
A
AB
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§7-2 单跨超静定梁的形常数与载常数
ΔAB F M AB l
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
FQBA=0,ΔAB是θA 和θB的函 数，转角位移方程为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2. 一端固定、一端铰支的等截面直杆
MAB A A FS BA l FS BA
A
F EI
B
AB
MBA=0,θB 是θA 和ΔAB的函数，转角位移方程为
M AB 3i AB A 3i AB M BA 0
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如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位 移，则根据叠加原理，杆端弯矩的一般公式为：
F M AB =4i A 2i B 6i / l M AB F M BA =2i A 4i B 6i / l M BA
杆端剪力的一般公式为：
FQAB FQBA 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l 6i 6i 12i F A B 2 FQBA l l l
转角位移方程：
M AB =4i A 2i B 6i / l M BA =2i A 4i B 6i / l
1 1 A = M AB M BA 3i 6i l 1 1 B = M AB + M BA 6i 3i l
1 1 M AB M BA M BA =0 3i 6i l M AB 3i A 3i / l 1 1 B = M AB + M BA 6i 3i l
A =
B 0
FQAB FQBA
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0
M AB i A M BA i A
F S AB
l F S AB
MBA
可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆 在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式， 它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
表7.1要求记忆！
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
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§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
为什么不选结点C？ C为支座结点！
由表7-1可求出各杆的固端 弯矩为：
F F M AB M BA
20 6 15kห้องสมุดไป่ตู้ m 8
对于不易观察的结构用换铰法。
先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都变成铰结点， 从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保持该体系为几何不 变所需增加链杆的最少数目就是原结构独立的结点线位移的 数目。 只需增加一根链杆，1个独立的线位移
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§7-1位移法基本概念
F1
C Z1
Z1 C
D
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
A
两端固定梁
B
A
B
一端固定、一端铰支梁
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、材 料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(7-1) 。 仅由荷载产生的杆端内力称为载常数。列于表(7-1) 。
6iAB ΔAB F FQAB ( A B 2 ) FQAB l l 6iAB ΔAB F FQBA ( A B 2 ) FQBA l l
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由两端固定等截面 直杆的转角位移方程可 得到其他支撑的转角位 移方程。
注意：在可忽略直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的 距离保持不变。
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§7-1位移法基本概念
2. 确定独立结点线位移的方法—— 观察法、换铰
法。
观察法
结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的结点角 位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。
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§7-1位移法基本概念
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
1. 两端固定的等截面直杆
MAB A A

F EI
B
杆端弯矩的一般公式：
B
AB
A
FSAB
l
MBA FS AB
ΔAB F M AB 4i AB A 2i AB B 6i AB M AB l ΔAB F M BA 2i AB A 4i AB B 6i AB M BA l
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§7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
由荷载求固端内力——载常数
两端固定的等截面直杆
记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为：
F M AB
F M BA
杆端剪力分别为：
F FQAB F FQBA
因为只与荷载形式有关，所以又 称为载常数。
F M AB FPi F M BA FPi
第七章 位移法
结构力学 I
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§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量
如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
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§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
（1）
由平衡条件求出杆端剪力：
FQAB =FQBA 6i 6i 12i A B 2 l l l
（2）
思考：用力法 怎么计算？
为紧凑起见，写成矩阵的形式： 刚度系数
M AB 4i M BA 2i F 6i / l QAB 6i / l A 6i / l B 2 6i / l 12i / l 2i 4i
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§7-1位移法基本概念
v 0 h 0
基本未知量
杆的伸长 ui 杆端力为 FNi
1st:取一个杆件分析
FNi EAi ui li
刚度系数
ui sin i
刚度方程
2nd:综合成结 构
3rd:结点B的平衡条件
F
i 1
5
Ni
sin i 0
M
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F BC
2 62 9kN m 8
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M AB 2i B 15kN m M BA 4i B 15kN m M BC 3i B 9kN m
在给定荷载作用下，结点A发生角位移和水平线位移。（注 意：支座处的位移不作为基本未知量。）
A, 基本未知量：
拆
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搭
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§7-1位移法基本概念
二、位移法的基本方程
用位移表示的平衡方程
EAi sin 2 i FP i 1 li
5
第一步：把结构拆成杆件，进行杆件分 析，得出杆件的刚度方程。 两步： 第二步：再把杆件综合成结构，进行整 体分析，得出基本方程。 杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移 法基本方程的基础。因此位移法也称为刚度法。
5
各杆的轴力：
EAi sin i li FNi 5 FP EAi sin 2 i i 1 li
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§7-1位移法基本概念
由上面的简例，可归纳出位移法的要点如下：
一、位移法的基本未知量
1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移
结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。 铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计算 杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。
F1 F2
B
Z1
Z1 D
C
C
D
D
F2
Z2 B A E Z2 Z2 F
E F
B
B
A