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初三数学几何综合练习题

初三数学几何综合练习题1.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在射线BC上(不与点B、C重合),连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE,连接BE.(1)如图1,点D在BC边上.①依题意补全图1;②作DF⊥BC交AB于点F,若AC=8,DF=3,求BE的长;(2)如图2,点D在BC边的延长线上,用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系(直接写出结论).图1图22. 已知:Rt△A′BC′和Rt△ABC重合,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠BA′C′=∠BAC=30°,现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α(60°≤α≤90°),设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD.(1)当α=60°时,A’B 过点C,如图1所示,判断BD和A′A之间的位置关系,不必证明;(2)当α=90°时,在图2中依题意补全图形,并猜想(1)中的结论是否仍然成立,不必证明;(3)如图3,对旋转角α(60°<α<90°),猜想(1)中的结论是否仍然成立;若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由.ABC图1 图2 图33.如图1,已知线段BC=2,点B关于直线AC的对称点是点D,点E为射线CA上一点,且ED=BD,连接DE,BE.(1) 依题意补全图1,并证明:△BDE 为等边三角形;(2) 若∠ACB =45°,点C 关于直线BD 的对称点为点F ,连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△''C DE ,点E 的对应点为E ′,点C 的对应点为点C ′.①如图2,当α=30°时,连接'BC .证明:EF ='BC ;②如图3,点M 为DC 中点,点P 为线段''C E 上的任意一点,试探究:在此旋转过程中,线段PM 长度的取值范围?4.(1)如图1,在四边形ABCD 中,AB=BC ,∠ABC =80°,∠A +∠C =180°,点M 是AD 边上一点,把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°,与CD 边交于点N ,请你补全图形,求MN ,AM ,CN 的数量关系;图1 图2 图3(2)如图2,在菱形ABCD中,点M是AD边上任意一点,把射线BM绕点B顺时针旋12ABC,与CD边交于点N,连结MN,请你补全图形并画出辅助线,直接写出AM,CN,MN的数量关系是;(3)如图3,正方形ABCD的边长是1,点M,N分别在AD,CD上,若△DMN的周长为2,则△MBN的面积最小值为.5. 已知,点P是△ABC边AB上一动点(不与A,B重合)分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q 为边AB的中点.(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是;(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.6.△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,将△AHC绕点H逆时针旋转90°后,点C的对应点为点D,直线BD 与直线AC交于点E,连接EH.(1)如图1,当∠BAC 为锐角时,①求证:BE ⊥AC ; ②求∠BEH 的度数; (2)当∠BAC 为钝角时,请依题意用实线补全图2,并用等式表示出线段EC ,ED ,EH 之间的数量关系.7.在△ABC 中,CA =CB ,CD 为AB 边的中线,点P 是线段AC 上任意一点(不与点C 重合),过点P 作PE 交CD 于点E ,使∠CPE =12∠CAB ,过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ,交AB 于点G.(1)如果∠ACB =90°,图1图2ABH CA BHCED①如图1,当点P与点A重合时,依题意补全图形,并指出与△CDG全等的一个三角形;②如图2,当点P不与点A重合时,求CFPE的值;(2)如果∠CAB=a,如图3,请直接写出CFPE的值.(用含a的式子表示)8.在菱形ABCD中,120ADC∠=︒,点E是对角线AC上一点,连接DE,50DEC∠=︒,将线段BC绕点B逆时针旋转50︒并延长得到射线BF,交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形;图1 图2 图3E DC BAE DC BA备用图(2)求证:EG BC;(3)用等式表示线段AE,EG,BG之间的数量关系:_____________________________.9.在等边△ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D,连接BD,CD,其中CD交直线AP 于点E.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度数;(3)如图2,若60°<∠PAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形,并证明.A CAC11.在△ABC 中,90BAC ∠=︒.(1)如图1,直线l 是BC 的垂直平分线,请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ,连接'A C ,B A ','A C与AB 交于点E ;(2)将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移,与直线EC 交于点D ,与直线BC 交于点F ,过点F 作直线AB的垂线,垂足为点H .①如图2,若点D 在线段EC 上,请猜想线段FH ,DF ,AC 之间的数量关系,并证明;②若点D 在线段EC 的延长线上,直接写出线段FH ,DF ,AC 之间的数量关系.图1 图2 备用图12.在菱形ABCD 中,∠ABC =60°,E 是对角线AC 上任意一点,F 是线段BC 延长线上一点,且CF =AE ,连接BE 、EF .(1)如图1,当E 是线段AC 的中点时,易证BE =EF .(2)如图2,当点E 不是线段AC 的中点,其它条件不变时,请你判断(1)中的结论:_____.(填“成立”或“不成立”)(3)如图3,当点E 是线段AC 延长线上的任意一点,其它条件不变时,(1)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.图1 图2 图3北京各区2015数学一模答案1..解:(1)①补全图形,如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ,∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC , ∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分 ∵∠C =90°,AC =BC , ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分 ∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中, ∵AC =8,DF =3,∴AC =82DF =32. ………………………………………………………………4分AF =AB -BF=52即BE =52…………………………………………………………………………5分 (22BD =BE +AB. ……………………………………………………………………7分2.解:(1)当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分(2)补全图形如图1,BD A A '⊥仍然成立;------------3分 (3)猜想BD A A '⊥仍然成立.证明:作AE C C '⊥,A F C C ''⊥,垂足分别为点,E F ,如图2,则90AEC A FC ''∠=∠=︒.∵BC BC '=,∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=︒,∴90ACE BCC '∠+∠=︒,'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠.图1图1在AEC △和A FC ''△中,90,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴AEC A FC ''△≌△. ∴AE A F '=.在AED △和A FD '△中,90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴AED A FD '△≌△. ∴AD A D '=. ∵AB A B '=,∴'ABA △为等腰三角形. ∴BD A A '⊥------------7分3.解:(1)补全图形,如图1所示;证明:由题意可知:射线CA 垂直平分BD ∴EB =ED 又∵ED =BD ∴EB =ED =BD∴△EBD 是等边三角形 ………………2分(2)①证明:如图2:由题意可知∠BCD =90°,BC =DC又∵点C 与点F 关于BD 对称∴四边形BCDF 为正方形,∴∠FDC =90°,CD FD =∵30'CDC α︒==∠ ∴'60FDC ︒=∠ 由(1)△BDE 为等边三角形 ∴60'EDB FDC ︒==∠∠,ED =BD∴'EDF BDC =∠∠ …………………3分图2图2图1又∵''E DC EDC △是由△旋转得到的 ∴'C D CD FD == ∴()'EDF DBC SAS △≌△∴'EF BC = …………………………4分②线段PM的取值范围是:11PM ≤≤;设射线CA 交BD 于点O ,I :如图3(1)当''E C DC,⊥ ''MP E C ⊥,D 、M 、P 、C 共线时,PM 有最小值此时DP =DO = 2 ,DM =1∴PM =DP -DM =2-1 ………………………5分 II :如图3(2)当点P 与点'E 重合,且P 、D 、M 、C 共线时,PM 有最大值. 此时DP =DE ′=DE =DB =2 2 ,DM =1∴PM= DP +DM =22+1 ………………………6分∴线段PM 11PM ≤≤ ………………7分4.解:(1)E (1)延长DA 到点E ,使AE =CN ,连接BE ∵∠BAD +∠C =180°. ∴∠EAB =∠C .又∵AB =BC ,AE =CN , ∴△ABE ≌△CBN .∴∠EBA =∠CBN ,BE =BN .…………………………………………………………2 ∴∠EBN =∠ABC .∵∠ABC =80°,∠MBN =40°, ∴∠EBM =∠NBM =40°. ∵BM =BM ,∴△EBM ≌△NBM .∴EM =NM .…………………………………………………………………………3 ∴MN =AM +CN .……………………………………………………………………4 (2)图3(1)图3(1)P )图3(2) (5)M N <A M +C N ………………………………………………………… (6)(31…………………………………………… 5. 解:(1)AE ∥BF ,QE=QF , (2)QE=QF ,证明:如图2,延长EQ 交BF 于D , ∵AE ∥BF ,∴∠AEQ=∠BDQ , 在△BDQ 和△AEQ 中AEQ BDQ AQE BQD AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDQ ≌△AEQ (ASA ), ∴QE=QD , ∵BF ⊥CP ,∴FQ 是Rt △DEF 斜边上的中线, ∴QE=QF=QD , 即QE=QF . (3)(2)中的结论仍然成立, 证明:如图3,延长EQ 、FB 交于D , ∵AE ∥BF , ∴∠AEQ =∠D ,在△AQE 和△BQD 中AEQ BDQAQE BQD AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AQE ≌△BQD (AAS ), ∴QE=QD , ∵BF ⊥CP ,∴FQ 是Rt △DEF 斜边DE 上的中线, ∴QE=QF .说明:第三问画出图形给1分6.(1)①证明:∵AH ⊥BC 于点H ,∠ABC =45°,∴△ABH 为等腰直角三角形, ∴AH =BH ,∠BAH =45°,∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD , 由旋转性质得,△BHD ≌△AHC ,分-----------7分-----------6分-----------5分-----------4分图1-1∴∠1=∠2. ………………………1分 ∵∠1+∠C =90°, ∴∠2+∠C =90°,∴∠BEC =90°,即BE ⊥AC . ………………………2分 ②解法一:如图1-1,∵∠AHB =∠AEB =90°,∴A ,B ,H ,E 四点均在以AB 为直径的圆上, ………………………3分 ∴∠BEH =∠BAH =45°. ………………………4分解法二:如图1-2,过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点,∴∠FHE =90°,即∠4+∠5=90°.又∵∠3+∠5=∠AHB =90°,∴∠3=∠4. 在△AHE 和△BHF 中, ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,3421BH AH ∴△AHE ≌△BHF , ………………………3分 ∴EH =FH .∵∠FHE =90°,∴△FHE 是等腰直角三角形,∴∠BEH =45°. ………………………4分7.(1)①作图.……. 1分ADE ∆(或PDE ∆).…….2分②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ,交CD 于点M ,.…….3分∴CPM CAB ∠=∠.∵∠CPE =12∠CAB ,∴∠CPE =12∠CPN .∴∠CPE =∠FPN .∵PF CG ⊥,∴∠PFC =∠PFN =90°.∵PF =PF ,∴PFC ∆≌PFN ∆.∴CF FN =..…….4分 由①得:PME ∆≌CMN ∆.∴PE CN =.∴12CF CF PE CN ==..…….5分 (2)1tan 2α..…….7分 8. (本小题满分7分)图1-2GF ECP )DG F EC D AP BN M(1)补全图形,如图1所示.…………………………………………………………1分GF EDCBA图1 图2(2)方法一:证明:连接BE ,如图2. ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AD ∥BC .120ADC ∠=︒,60DCB ∴∠=︒.AC 是菱形ABCD 的对角线,∴1302DCA DCB ∠=∠=︒.……………………………………………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒.由菱形的对称性可知,50BEC DEC ∠=∠=︒,100EBC EDC ∠=∠=︒.……………………………………………………………………3分 100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒.GEB CBE ∴∠=∠.50FBC ∠=︒,50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒.…………………………………………………………4分EBG BEC ∴∠=∠.在△GEB 与△CBE 中,,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE .EG BC ∴=.………………………………………………………………………………5分GF EDCBA方法二:证明:连接BE ,设BG 与EC 交于点H ,如图3. ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AD ∥BC .120ADC ∠=︒,60DCB ∴∠=︒.AC 是菱形ABCD 的对角线,∴1302DCA DCB ∠=∠=︒.………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒.由菱形的对称性可知,50BEC DEC ∠=∠=︒,100EBC EDC ∠=∠=︒.……………………………………………3分50FBC ∠=︒,图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠.………………………………………………4分BH EH ∴=.在△GEH 与△CBH 中,,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH .EG BC ∴=.………………………………………………………………………………5分(3)AE BG +. …………………………………………………………………7分9.解:(1)补全图形,如图1所示. …………………………… 1分(2)连接AD ,如图2.∵点D 与点B 关于直线AP 对称,∴AD=AB ,∠DAP = ∠BAP =30°.∵AB=AC, ∠BAC =60°. ∴AD=AC, ∠DAC =120°.∴2∠ACE+60°+60°=180°∴∠ACE =30°…………………………… 3分HGF EDCBAPEDCB APEDCBA(3)线段AB,CE,ED 可以构成一个含有60°角的三角形. …………………………… 4分 证明:连接AD ,EB ,如图3. ∵点D 与点B 关于直线AP 对称, ∴AD=AB ,DE=BE , 可证得∠EDA = ∠E BA .∵AB=AC,AB=AD.∴AD=AC, ∴∠ADE = ∠ACE.∴∠ABE = ∠ACE.设AC ,BE 交于点F,又∵∠AFB = ∠CFE.∴∠B AC = ∠BEC=60°.∴线段AB,CE,ED 可以构成一个含有60°角的三角形.………7分11.解:(1)正确画出图形. ……………1分(2)①CA FH DF =+.……………2分 证明:过点F 作FG ⊥CA 于点G . ……3分 ∵FH ⊥BA 于点H ,90A ∠=︒,FG ⊥CA , ∴四边形HFGA 为矩形. ∴AG FH =,FG ∥AB .∴GFC EBC ∠=∠. ……………4分 由(1)和平移可知, ∠ECB =EBC ∠=∠GFC , ∠FDC =90A ∠=︒. ∴∠FDC =∠FGC =90°. ∵FC CF =,∴△FGC ≌△CDF .∴CG FD =. ………………………5分 ∴DF FH GC AG +=+.即DF FH AC +=. ……………6分②CA DF FH =- . ………………7分12.(2)结论:成立. ………………………..(1分) (3)结论:成立. ………………………..(2分)证明:过点E 作EG ∥BC 交AB 延长线于点G ,……………..(3分) ∵四边形ABCD 为菱形, ∴AB =BC ,又∵∠ABC =60°,∴△ABC 是等边三角形,∴AB =AC ,∠ACB =60°, …………………………..(4分) 又∵EG ∥BC ,图3FPCBADE G HF ECBAD图1图2图3GHF ECBAD∴∠AGE=∠ABC=60°,又∵∠BAC=60°,∴△AGE是等边三角形,∴AG=AE=GE ,∴BG=CE,…………………………..(5分)又∵CF=AE,∴GE=CF,………………………………………..(6分) 又∵∠BGE=∠ECF=60°,∴△BGE≌△ECF(SAS),∴BE=EF.………………………………………..(7分)。

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