计算 计算题1. 调查500个大学生，平均身高x=1.73m ,标准差S=7.05cm,求：95% 99%的置信区间？ 解 x+1.96S\-1.96S 95%的置信区间为：1.73+1.96*7.05 1.73-1.96*7.05 99%的置信区间为：1.73+2.58*7.05 1.73-2.58*7.05 答：2. 跳远 N=280 x=5.284m S=0.4m 定4.5m 为及格 求有几个人不及格? 解 Z=(4.5-5.258)/0.4= -1.96 Y=2.5% N=280*2.5%=73,跳高 x=1.5m S=0.08m 要2.5%的人达到优秀 那么x=? P=1-0.25=0.975 得出Z=1.96=(x-1.5)/0.08=1.96得出x=1.6568三、论述题1.正态分布曲线的性质？ 答：1） 曲线在 X 轴上方，以μ=x 。

为对称轴，且在μ=x 处 )(x f 有最大值，称峰值；2） μ 和σ为正态分布的两个参数，其中μ确定曲线在X 轴上的中心位置，σ决定曲线的“平扁度”（其中，σ值越大，曲线越扁平，反之则陡）；3） 自变量X 可以在实数列（-∞＜X ＜∞）范围内取值，曲线覆盖的区域的概率为1。

即曲线与X 轴所围成的极限面积为1。

当±∞→x时，曲线以X 轴为渐近线。

2. 累进记分法的步骤？答：① 确定起分点和满分点的成绩与分数： 起分点一般为0分，满分点一般为100或1000分。

② 求累进方程式：分别计算出起分点和满分点的D 值（利用D 值公式），然后分别代入累进分计算公式Z kD Y -=2③ 计算某一成绩对应的D 值： ④依次将各成绩的D 值代入累进方程式，计算出累进分数，可以制作成评分表。

∙ 四种统一变量单位方法之比较：正态变量—不等距升分—累进记分法—等距升分———分法—等距升分———分法Z U 非正态变量————————百分位数法四：计算题：1、正态分布在实践中应用 2、累进记分法 3、U 、T 、X ²检验。

补充：结论： 1 整群抽样的标准误要比单纯随机抽样的标准误大得多；2 单纯随机抽样≤机械抽样＜分层抽样＜整群抽样；3机械抽样抽样误差的计算同单纯随机抽样： 一．单纯随机抽样均数和率的抽样误差表中：S 为样本标准差，n 为样本容量，N 为总体容量，P 为样本率。

抽样误差分别记为：xs 和 p s 。

1. 关于一个总体平均数与标准差的检验： U —检验； t —检验； 2x —检验 2. 关于两个总体平均数的检验： t —检验； U —检验 3.率的检验： U —检验； 2x —检验 一．平均数的假设检验（一）关于一个正态总体均值0μ的检验 1.U —检验（以双侧为例前提：正态总体、总体标准差（0σ）已知检验的问题：从总体中抽取一个样本，通过样本检验总体均值有无显著变化（μ=0μ？） 步骤：1）作统计假设0H ：总体均值无显著变化，即μ = 0μ 1H ：总体均值有显著变化，即μ≠0μ 2）根据抽样结果，采用U —检验，计算统计量u 值nx u 0σμ-=～ N (0,1)3) 根据给定的显著水平a 值，做双侧U —检验，查正态表，求临界值2a U ±，使得：2)(2p a U u =≥ 4）结论：若u ≥2a U ，则拒接0H ，接受1H ，即总体均值有显著变化；若u＜2a U ，则接受0H ，即总体均值无显著变化。

例1.由历史资料知道某地12岁男孩的身高服从δ～)4.9,140(2N cm ，今抽查100名，测得143=x cm ，若标准差无变化，该地区12岁男孩身高与以前有无显著变化（a = 0.05）？解：1）作统计假设0H ：现身高与以前无显著变化，即μ = 0μ1H ：现身高与以前有显著变化，即μ≠0μ2），采用U —检验，计算统计量u 值： nx u 0σμ-==19.31004.9140143=-3）根据给定的显著水平a = 0.05，做双侧U —检验，查正态表，求临界值2a U ±，得：2)(2a p a U u =≥ 由21)(2ap a U u -=-∞ = 0.975 得到：2a U = 1.96 4）∵u= 3.19 ＞2a U = 1.96∴ 拒接0H ，接受1H ，即身高与以前有显著变化【单侧检验见笔记本】 2．t —检验（以双侧为例）前提：正态总体、总体标准差未知检验的问题：从总体中抽取一个样本，通过样本检验总体均值有无显著变化（μ=0μ？） 步骤：1）作统计假设0H ：总体均值无显著变化，即μ = 0μ 1H ：总体均值有显著变化，即μ≠0μ 2）根据抽样结果，采用t —检验，计算统计量T 值 10--=n sx Tμ ～ )1(-n t3) 根据给定的显著水平a 值，做双侧t —检验，查t —分布表，求临界值2a t ±，使得：2)(2p a t T =≥ 4）结论：若T ≥2a t ，则拒接0H ，接受1H ，即总体均值有显著变化；若T＜2a t ，则接受0H ，即总体均值无显著变化。

例：施丽影教材第114页，例7.4设某同学的跳远成绩服从正态分布，抽查15次，成绩如下（米）： 4.20 4.22 4.17 4.26 4.20 4.26 4.23 4.19 4.28 4.38 4.34 4.32 4.41 4.23 4.22能否认为该同学的成绩为4.30米？解：先由样本求得26.4=x米，07.0=s 米1）作统计假设0H :4.26米与4.30米无显著差异，30.40==μμ，即可以认为该同学的成绩为4.30米。

2）因总体标准差未知，采用t —检验，计算统计量T 138.211507.030.426.410-=--=--=n s x Tμ1） 取显著水平05.0=α，做双侧t —检验，求临界值2αt ±，查t —分布表得到：145.2)14(2=αt2） ∵138.2=T ＜145.2)14(2=αt∴ 接受0H ，即可以认为该同学的成绩为4.30米 （二）关于两个正态总体均值的检验1. t —检验（以双侧为例） 前提：正态总体),(211σμN 、),(222σμN ，1μ和2μ未知，但21σσ=（即无显著差异） 检验的问题：从两个总体中各抽取一个样本，由样本结果检验两总体均值有无显著差异（即1μ = 2μ）？ 步骤：1）作统计假设0H ：两总体均值无显著差异，即1μ = 2μ 1H ：两总体均值有显著差异，即1μ ≠ 2μ 2）根据抽样结果，采用t —检验，计算统计量T 值 )2())((212121221121-+++-=n n n n n n s n s n x x T～ )2(21-+n n t3) 根据给定的显著水平a 值，做双侧t —检验，查t —分布表，求临界值2a t ±，使得：2)(2ap a t T =≥4）结论：若T ≥2a t ，则拒接0H ，接受1H ，即两总体均值有显著差异；若T＜2a t ，则接受0H ，即两总体均值无显著差异。

注：t —检验同样存在单侧检验对1μ ≤2μ，应作左侧检验(以1μ为主体提问)对1μ ≥2μ，应作右侧检验(以1μ为主体提问)。

例：施丽影教材第115页，例7.5正常成年人体血液红细胞含量服从正态，现从某地抽取男子156人，女子74人，计算出红细胞含量毫升万男13.465=x ，毫升万男80.54s =；毫升万女16.422=x毫升万女20.49s =。

问该地成年人的红细胞含量均值是否与性别有关（01.0=α）？解：1）作统计假设0H ：两总体均值无显著差异，该地正常成年人的红细胞含量均值与性别无关，即1μ = 2μ 1H ：红细胞含量均值与性别有关，即1μ ≠ 2μ 2）根据抽样结果，采用t —检验，计算统计量T 值 )2())((212121221121-+++-=n n n n n n s n s n x x T≈ 5.733) 显著水平 a = 0.01，做双侧t —检验，查t —分布表，求临界值，使得：2)(2ap a t T =≥，用插值法求得606.2)228(2=a t4）∵T= 5.73 ＞2a t = 2.606，∴ 则拒接0H ，接受1H ，即该地正常成年人的红细胞含量均值与性别有关。

2. U —检验对于t —检验，当1n 、2n 均大于50时，可用 U —检验 代替 t —检验，其统计量：22212121n s n s x x u +-=～ N （0，1）练习：从甲乙两校各抽取60名同岁男生，测得身高为 甲x = 165cm ，甲s = 3cm ；乙x = 170cm ， 乙s = 3.3cm 。

若两校身高均服从正态分布，且乙甲σσ=，问乙校身高是否明显高于甲校（a =0.05）?解：（这里可以采用t —检验和U —检验两种方法）1）作统计假设0H ：乙校身高不明显高于甲校，即乙μ ≯ 甲μ 1H ：乙校身高明显高于甲校，即乙μ ＞ 甲μ 2）计算统计量：若用t —检验，T = 8.6207 若用U —检验，u = 8.68423）对于显著水平a = 0.05，作右侧t —检验，查t —分布表，求临界值a t ，使得a p a t T =≥)( ∴a t = 1.66（利用插值公式，见教材）4）∵ T = 8.6207 ＞a t = 1.66∴ 拒接0H ，接受1H ，即乙校身高明显高于甲校。

若问：甲（乙）校身高是否明显低（高）于乙（甲）校呢？ 则应用左（右）侧检验， 二．标准差的假设检验（一） 关于一个总体标准差的检验2x —检验（以双侧为例）前提：正态总体检验的问题：从总体中抽取一个样本，根据样本结果检验总体标准差有无发生显著变化（即σ=0σ）？步骤：1）作统计假设0H ：总体标准差没有显著变化，即σ=0σ1H ：总标准差有显著变化，即σ≠0σ2）根据抽样结果，采用2x —检验，计算统计量k 值2022012)(σσns x xk ki i=-=∑= ～ 2)1(-n x3）根据给定的显著水平a 值，作双侧2x —检验，查2x —分布表，求临界值1λ、2λ（1λ＜2λ），使得：2)(1a p k =≤λ ⇒ 21)(1ap k -=λ2)(2ap k =≥λ （表中所给的面积为临界值右侧的面积） 4）当1λ＜k ＜2λ时，接受0H ；当k ≤1λ 或 k ≥2λ时，拒接0H ，接受1H 。

55．某学生的跳远成绩服从正态分布，且80=σcm ，任意抽查10次，结果如下（cm ）:578 572 570 568 572 570 572 570 596 584 问着10次成绩是否稳定（05.0=α）？解：1）做统计假设0H ：设10次跳远成绩稳定，即σ = 8 CM （1H ：略）2) 计算统计量 2012)(σ∑=-=ni ix xk =65.10646.681= 3) 对于显著水平 a = 0.05，自由度n-1 = 9，作双侧2x —检验，查2x —分布表，求临界值1λ、2λ（1λ＜2λ），使得：2)(1a p k =≤λ ⇒ 21)(1ap k -=λ2)(2a p k =≥λ 得到 1λ = 2.7 2λ = 19 4) ∵ 1λ＜K ＜2λ∴ 接受0H ，即认为10次跳远成绩稳定。