第一章 信号与系统一．连续时间和离散时间信号 1.两种基本类型的信号：连续时间信号和离散时间信号。

在前一种情况下，自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义；而后者是仅仅定义在离散时刻点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。

为了区分，我们用t 表示连续时间变量。

而用n 表示离散时间变量，连续时间变量用圆括号()•把自变量括在里面，而离散时间信号则用方括号[]•来表示。

2.信号能量与功率连续时间信号在[]21t t ，区间的能量定义为：E=dt t x t t 221)(⎰连续时间信号在[]21,t t 区间的平均功率定义为：P=dt t x t t t t 21221)(1⎰- 离散时间信号在[]21,n n 区间的能量定义为：E=∑=212][n n n n x离散时间信号在[]21,n n 区间的平均功率定义为：P=∑=+-21212)(11n n n t x n n 在无限区间上也可以定义信号的总能量： 连续时间情况下：⎰⎰+∞∞--∞→∆∞==dt t x E TTT 22x(t)dt )(lim离散时间情况下：∑∑+∞-∞=+-=∞→∆==n NNn N n x n x E 22][][lim在无限区间内的平均功率可定义为：⎰-∞→∆∞=TTT dt t x TP 2)(21lim∑+-=∞→∆∞+=NNn N n x N P 2][121lim 二．自变量的变换1.时移变换x(t)→x(t-0t ) 当0t >0时，信号向右平移0t ；当0t <0时，信号向左平移0tx[n]→x[n-0n ] 当0n >0时，信号向右平移0n ；当0n <0时，信号向左平移0n 2.反转变换x(t)→x(-t) 信号以t=0为轴呈镜像对称 x[n]→x[-n] 与连续时间的情况相同 3.尺度变换x(t)→x(at) a>1时，x(at) 是将x(t)在时间上压缩a 倍 0<a<1时，x(at)是将x(t)在时间上扩展1/a 倍由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。

4.周期信号周期信号：x(t)=x(t+T) x[n]=x[n+N]满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称为信号的基波周期()00N T x(t)=c 可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。

x[n]=c 可以视为周期信号，其基波周期10=N 5.偶信号与奇信号如果有x(-t)=-x(t)或x[-n]=-x[n], 则称该信号为奇信号 如果有x(-t)=x(t)或x[-n]=x[n], 则称该信号为偶信号 任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。

对实信号有：其中其中()()()e o x t x t x t =+1()[()()]2e x t x t x t =+-1()[()()]2o x t x t x t =--三．指数信号与正弦信号1.连续时间复指数信号与正弦信号连续时间复指数信号具有如下形式：x(t)=C at e C 和a 一般为复数，根据这些参数值的不同，复指数信号可有几种不同的特征。

①实指数信号：C 和a 都为实数，若a 是正实数，那么x(t)随t 的增加而指数增长，若a 是负实数，那么x(t)随t 的增加而指数衰减，对于a=0，x(t)为一常数。

②周期复指数信号：a 为纯虚数，x(t)是周期的，其基波周期为：002ωπ=T③正弦信号： 其基波周期为002ωπ=T , 基波频率为0ω④一般复指数信号)sin()cos(00θωθω+++=t e C j t e C Ce rt rt at 当r>0时，是指数增长的正弦振荡。

r<0时，是指数衰减的正弦振荡。

r=0 时，是等幅的正弦振荡。

000()cos sin j tx t e t j t ωωω==+0()cos()x t A t ωφ=+0022j t j tj j A A e e e e ωωφφ--=+2. 离散时间复指数信号与正弦信号 x[n]=C n α C 和α一般均为复数 ①实指数信号C 和α均为实数 当α>1时，呈单调指数增长 0<α<1时，呈单调指数衰减 -1<α<0时，呈摆动指数衰减 α<-1时，呈摆动指数增长 ②正弦信号注：离散时间正弦信号不一定是周期的 ③一般复指数信号)sin()cos(00θωαθωαα+++=n C j n C C nnn对α=1，复指数序列的实部和虚部都是正弦序列，对α<1，其实部和虚部为正弦序列乘以一个按指数衰减的序列，对α>1，则乘以一个按指数增长的序列。

3.离散时间复指数序列的周期性质① 离散时间复指数序列x[n]=n j e 0ω 不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条件。

只有在2π与0ω的比值是一个有理数时，n j e 0ω才具有周期性。

在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数 m, N 使得：)cos(][0φω+=n A n x nj n e nj 00sin cos 0ωωω+=()()φωφωφω+-++=+n j n j eA e A n A 0022)cos(0n j j n j j e e A e e A 00)2()2(ωφωφ--+=（m 与N 无公因子）此时m N 02ωπ=即为该信号的周期, 也称为基波周期, 因此该信号的基波频率为:②离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。

该信号集中的每一个信号都是以N 为周期的, N 是它们的基波周期。

k=0称为直流分量，k=1称为基波分量，k=2称为二次谐波分量等等 注：该信号集中只有N 个信号是独立的。

即当k 取相连的N 个整数时所对应的各个谐波是彼此独立的。

③信号t j 0e ω和n j e 0ω的比较四．单位冲激与单位阶跃函数1.离散时间单位脉冲和单位阶跃序列 ①单位脉冲序列02mNωπ=02N mωπω==2()j kn Nk n e πφ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭0,1,2k =±±⋅⋅⋅⋅⋅⋅0ω不同，信号不同对任何 0ω信号都是周期的基波频率;=0ω02Tπ基波周期：0T频差π2的整数倍时，信号相同仅当m20ωπ=N 时，信号是周期的基波频率;m 20Nπω=基波周期：N②单位阶跃序列离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，离散时间阶跃是单位样本的求和函数。

③单位脉冲的采样性2.连续时间单位阶跃和单位冲激函数 ①单位阶跃函数②单位冲激函数连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数连续时间单位冲激可看作连续时间单位阶跃的一次差分 ③δ(t)函数性质a.δ(t) 是偶函数，δ(-t)=δ(t)b.比例变换特性，δ(at)=a1δ(t) c.d.采样性，五． 连续时间与离散时间系统1.系统的互联{()u t =1， ，t >0t <()()du t t dtδ=()()tu t d δττ-∞=⎰()1t dt δ∞-∞=⎰()()(0)()x t t x t δδ=000()()()()x t t t x t t t δδ-=-①级联 ②并联③级联/并联联接 ④反馈联结六．基本系统性质 1.记忆系统与无记忆系统如果对自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，则称该系统是无记忆系统，否则就是记忆系统。

恒等系统是一种特别简单的无记忆系统，离散时间记忆系统的一个例子就是累加器或相加器。

2.可逆性与可逆系统一个系统如果在不同的输入下，导致不同的输出，就称该系统是可逆的。

如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统，则称后者是前者的逆系统。

3.因果性如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入，就称该系统为因果系统。

这样的系统往往称之为不可预测的系统，因为系统的输出无法预测未来的输入值。

所有的无记忆系统都是因果的。

4.稳定性如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是稳定系统。

否则，就是不稳定系统。

5.时不变性如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移，除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是时不变的，否则就是时变的。

检验一个系统时不变性的步骤:①令输入为）（t x 1 ，根据系统的描述，确定此时的输出()t y 1 ②将输入信号变为()t x 2，再根据系统的描述确定输出()t y 2③令()t x 2=()01x t t -，根据自变量变换，检验()01t t y -是否等于()t y 2 6.线性线性系统具有一个很重要的性质就是叠加性质，即：如果某一个输入是由几个信号的加权组合的话，那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。

连续时间：()()()()t by t ay t bx t ax 2121+→+ 离散时间：[][][][]n by n ay n bx n ax 2121+→+对于线性系统来说，叠加性质的一个直接结果就是：在全部时间为零的输入，其输出也恒为零，即零输入产生零输出。

∆ 增量线性系统在连续或离散时间系统中，其中输出由一个线性系统的响应与一个零输入响应叠加组成；其响应对输入中的变化是线性的；对增量线性系统而言，对任意两个输入的响应的差是两个输入的差的线性函数（即可加的且齐次的）。