2n 1 2n n 1 n 2 2n
在验证n 1时,左边
1- 1 1 22
五、总结数学归纳法的步骤：
（1）验证当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立
（2）假设当n k (k N*, k n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
（要用到假设）
（3）结论： 由（1）（2）可知等式对从n0开始的所有正整数n都成立。
数学归纳法
一、引入：
问题：观察下列等式的规律，并猜想结论
1=12 1+3=4=22， 1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42， ……
猜想：1+3+…+(2n－1)=n2 n N *
二、方法呈现：
数学归纳法：完成以下两个步骤证明与正整数有关的命题的方法.
①第一块骨牌倒下 ②若第k块倒下 且保证第k+1块也倒下
（1）验证当n取第一个值n0 (n0 N *)时命题成立
（2）假设当n k 时命题成立 (k N *, k n0 )
证明当n=k+1时命题也成立。
骨牌全部倒下，命题成立
例用数学归纳法证明 1+3+5+……+(2n-1)=n2
证明：（1）当n 1时，左边 1, 右边 12 1，等式成立。
234
3n 1
A. 1 3n 2
B. 1 1 3n 3n 1
C. 1 1 3n 1 3n 2
D. 1 1 1 3n 3n 1 3n 2
f (n 1) 1 1 1 1 1 1
234
3n 1 3n
1 3n1
3n1（32 n
1 1） 1
总结
4.用数学归纳法证明:1 a a2 an1 1 an2 (a 1，n N *) 1 a
在验证n 1时,左端计算所得的项为( C )
A.1
B.1 a
C.1 a a2
D.1 a a2 a3
变式：验证 n 2时,左端计算所得的项为 ( D )
A.1
B.1 a
C.1 a a 2
D.1 a a2 a3
5. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (n N *)
234
（2）假设n k(k N*) 时，等式成立，即1 3 5（2k 1） k2，
则当 n k 1时
左边 1 3 5 （2k 1）（2k(k1)1) 1
k2 （2k 1)
（k 1）2 右边
即当n k 1时等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何 n N *都成立。
三、总结数学归纳法的步骤：
2、12 22 （n 1）2 n2 （n 1）2 22 12 1 n(2n2 1) 3 nN*
1、 1 2 3 n 1 n(n 1) 2
证明：（1）当n 1时，左边 1 右边 1 1 (11) 1 （2）假设n k(k N *) 时，等2 式成立，
(n N *)
等式成立。
3
ห้องสมุดไป่ตู้
33
2 k 3 2k 2 7 k 1
3
3
( 2 k 3 4 k 2 k) ( 2 k 2 4 k 1) 1 (k 1) 2(k 1)2 1 右边
33
33
3
即当n k 1时等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何 n N *都成立。
D 练习3.设f (n) 1 1 1 1 1 (n N *),那么f (n 1) - f (n) （ ）
（1）验证当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 （2）假设当n k (k N*, k n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
（要用到假设）
（3）结论： 由（1）（2）可知等式对从n0开始的所有正整数n都成立。
四、练习：用数学归纳法证明
1、 1 2 3 n 1 n(n 1) (n N *) 2
即 1 2 3 k 1 k(k 1)， 2
则当 n k 1 时,
左边 1 2 3 k (k 1)
1 k(k 1) (k 1) 2
1（k 2
1）(k
2)
右边
即当n k 1时等式也成立
根据（1）和（2），可知等式对任何 n N *都成立。
2、12 22 （n 1）2 n2 （n 1）2 22 12 1 n(2n2 1)， 证明：（1）当n 1时，左边 1 右边 1 1 (212 1) 1 3 等式成立。
3
（2）假设n k时，等式成立， 即12 22 （k 1）2 k 2 （k 1）2 22 12 1 k (2k 2 1) 3
则当 n k 1时
左边 12 22 （k 1）2 k 2 (k 1) 2 k 2 （k 1）2 22 12
1 k(2k 2 1) (k 1）2 k 2 ( 2 k3 1 k) (k 2 2k 1) k 2