骨牌一个接一个倒下，就如同一个值到下一个值的过程。
1.证明当n = 1 时命题成立。
2.证明如果在n = m时命题成立，那么可以推导出在n = m+1 时命题也成立。
（m代表任意自然数）
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。
当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。
例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
1.证明第一张骨牌会倒。
2.证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒。
[编辑]例子
假设我们要证明下面这个公式（命题）：
其中n为任意自然数。
这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。
证明这个公式成立的步骤如下。
[编辑]证明
[编辑]第一步
第一步是验证这个公式在n = 1时成立。
我们有左边 = 1，而右边 = 1(1 + 1) / 2 = 1，所以这个公式在n = 1时成立。
第一步完成。
[编辑]第二步
第二步我们需要证明如果假设n = m时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。
证明步骤如下。
我们先假设n = m时公式成立。
即
（等式 1）
然后在等式等号两边分别加上m + 1 得到
（等式 2）
这就是n = m+1 时的等式。
我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。
通过因式分解合并，等式 2 的右手边
也就是说
这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。
证明至此结束，结论：对于任意自然数n，P(n) 均成立。
[编辑]解释
在这个证明中，归纳推理的过程如下：
1.首先证明 P(1) 成立，即公式在n = 1 时成立。
2.然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。
（这里实际应用的是演绎
推理法）
3.根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。
4.继续推导，可以知道 P(3)成立。
5.从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。
6.不断重复推导下一命题成立的步骤。
（这就是所谓“归纳”推理的地方）
7.我们便可以下结论：对于任意自然数n，P(n) 成立。
[编辑]数学归纳法的变体
在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。
下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
[编辑]从 0 以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b
的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
1.第一步，证明当n = b时命题成立。
2.第二步，证明如果n = m (m≥b) 成立，那么可以推导出n = m+1 也成立。
用这个方法可以证明诸如“当n≥ 3 时，n2 > 2n”这一类命题。
[编辑]只针对偶数或只针对奇数
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
1.第一步，证明当n = 1时命题成立。
2.第二步，证明如果n = m成立，那么可以推导出n = m+2 也成立。
偶数方面：
1.第一步，证明当n = 0或2时命题成立。
2.第二步，证明如果n = m成立，那么可以推导出n = m+2 也成立。
[编辑]递降归纳法又名递回归纳法
数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。
对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。
[编辑]完整归纳法
另一个一般化的方法叫完整归纳法, 在第二步中我们假定式子不仅当n = m时成立，当n小于或等于m时也成立. 这样可以设计出这样两步:
1.证明当n = 0时式子成立.
2.证明当n≤m时成立，那么当n = m + 1时式子也成立.
例如，这种方法被用来证明:
fib(n) = [Φn− (−1/Φ)n ] / 51/2
fib(n) 是第n个斐波纳契数和Φ = (1 + 51/2) / 2 (即黄金分割). 如果我们可以假设式子已经在当n = m和n = m− 1时成立，从fib(m + 1) = fib(m) + fib(m− 1)之后可以直截了当地证明当n=m + 1 时式子成立.
这种方法也是第一种形式的特殊化:
1.定义P(n) 是我们将证的式子,
2.P(0)和P(1)成立
3.P(m + 1)在P(m)和P(m− 1)成立时成立。
结论：P(n)对一切自然数n成立。
[编辑]超限归纳法
最后两步可以用这样一步表示:
1.证明如果式子在所有的n < m成立，那么式子在当n = m时也成立.
1.m是一个极小元素，也就是没有一个元素小于m
2.m有一个直接的前辈，比m小的元素有一个大的元素
3.m没有任何前辈，也就是m是一个界限序数.。