圆锥曲线一、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上⇔f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上⇔f(x0,y0)≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则f1(x0,y0)=0点P0(x0,y0)是C1，C2的交点⇔f2(x0,y0) =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.2.圆圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ），半径是24F-E D 22+.配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识椭 圆 双曲线 抛物线轨迹条件{M ｜｜MF 1｜+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a} {M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. {M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形标准方程22a x +22b y =1(a ＞b ＞0) 22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)y 2=2px(p ＞0)顶 点A 1(-a,0),A 2(a,0);B 1(0,-b),B 2(0,b)A 1(0,-a),A 2(0,a)O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a 短轴长：2b对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=0焦 点F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(2P，0) 焦点对称轴上焦 距｜F 1F 2｜=2c ，c=b2-a2｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率 e=a c,0＜e ＜1 e=ac,e ＞1 e=1曲线 性 质4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则x=x′+h x′=x-h(1) 或(2)y=y′+k y′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1(±c+h,k)x=±ca2+hx=hy=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1(h,±c+k)y=±ca2+kx=hy=k双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1(±c+h,k)=±ca2+kx=hy=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1(h,±c+h)y=±ca2+kx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(2p+h,k)x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2p+h,k)x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k)(h, 2p+k)y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k)(h,- 2p+k)y=2p+k x=h二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。

四．对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。

求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】【例1】 双曲线2224b y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点， |OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________.解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ),则 |PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317, 又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1. 【例2】 已知圆C 1的方程为()()3201222=-+-y x ，椭圆C 2的方程为 12222=+b y a x ()a b >>0，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。

解：由,2,22,222222c b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b y b x设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A .2,42121=+=+∴y y x x又,12,12222222221221=+=+by bx by bx两式相减，得.022222122221=-+-b y y b x x,0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x又.1.2.421212121-=--=+=+x x y y y y x x 得)..2(1--=-∴x y AB 的方程为直线即3+-=x y 将得代入,1232222=++-=b y b x x y.021812322=-+-b x x.07224.22>-=∆∴b C AB 相交与椭圆直线由.3204)(222122121=-+=-=x x x x x x B A 得.3203722422=-⋅b 解得 .82=b 故所有椭圆方程.181622=+y x【例3】 过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.解法一：由e =22=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－2y x , 又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,于是－2y x =－1,k AB =－1, 设l 的方程为y =－x +1.右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=89,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1.解法二：由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0, 则x 1+x 2=22214kk +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－2212kk +.直线l ：y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-, 解得k =0，或k =－1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为)1()0(12222>>=+b a by ax直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过21=中点矛盾。