正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n

A

n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
捞上1000条，发现其中40条有记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，用A表示事件（任捞一条带记号）。
问下面两个数1000/n，40/1000，哪个是A的频率？哪个是A的概率？为什么？
4.2 概率的统计定义
在相同条件S下，独立地重复作n次试验，考察事件A出现的次数(频数) μ，
称fn(A)= μ/n 为A在n次试验中出现的频率(frequency)。
当试验次数n很大时，如果A的频率fn(A)稳定地在某一数值p附近摆动； 而且 一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称
A. 两个数都是概率
B. 两个数都是频率
C. 左边频率，右边概率 D.左边概率，右边频率
答案是 D
4.3概率的古典定义
古典型试验：如果一个随机试验E满足 （i）实验结果为有限个； （ii）每个结果出现的可能性是相同的。
4.4 概率的几何定义
5.条件概率与概率的乘法公式 5.1 条件概率
定义 对任意事件A和B，若 P(B) 0，则“在B事件发生的条件下A的条件
ABC=φ 称为三个事件 不能同时发生
（4） 独立，事件A发生与否对事件B的概率没有影响，反之亦然，
三个事件两两独立不能推出三个事件独立 如果事件A，B，C满足
则称事件A，B，C相互独立。
4.概率的定义与性质 概率定义：
1. 概率的数学（公理化）定义 2. 概率的统计意义下定义 3. 概率的古典定义 4. 概率的几何定义
P( A1 A2 L An ) P( A1) P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )L P( An | A1A2 L An1)
6.全概率公式与逆概（贝叶斯）公式 等概完备事件组
1） 完全性（至少有一个发生） 2） 互斥性（至多有一个发生） 3） 等概性（发生的可能相同），则为等概完备事件组 完备事件组
概率”，记作P(A | B)，定义为
P(
A
|
B)＝
P（AB） P（B）
5.2 概率的乘法公式：
一般情况下乘法公式：
若P(B) 0，则 P(AB) P(B)P(A | B)
同样有
若P(A) 0，则 P(AB) P(A)P(B | A)
独立情况下乘法公式： P(AB)=P(A)P(B) 两个事件的乘法公式还可推广到n个事件，即
§1.3 随机变量及其概率分布
一、 随机变量
在条件S下，随机试验的每一个可能的结果ω都用一个实数X=X(ω)来表示， 且实数X满足：
单值函数
（i）X是由ω唯一确定
分布函数存在
（ii）对于任意给定的实数X，事件{X≤x}都是有 概率的，则称X为一随机变量， 一般用英文大写字母X,Y,Z或希腊字母ξ,η,ζ表示。
随机事件：1.样本空间Ω的一个子集 2.所谓事件A发生，当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生
3.事件之间的关系与运算
事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”。
如果没有特别的说明，下面问题的讨论我们都假定是在同一样本空间Ω中 进行的。 事件的并：或者A发生或者B发生或者A、B同时发生，记为A∪B或A+B 事件的交：A与B同时都发生，记为A∩B或A∙B，有时也简记为AB
事A 件的逆：事件A不发生，记为 A－B，A与B的差不是基本运算 A与B的差：我们称为A－B，记为 A B
关系： （1）包含，设A，B为两个事件，如果A中的每一个样本点都属于B， 那么称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B。 （2）如果A、B相互包含，那么称事件A与事件B等价或相等，记为A=B。 （3） 互斥，两个事件互斥是A与B不能同时发生，三个事件互斥是三个事件 两两互斥。（互不相容）
随机变量可以说是样本点的函数
我们把多个随机变量放在一起作为一个整体来考虑就叫做n维随机变量（向）量. (n-dimensional random variable)
二.随机变量(random variable)的分类
或者有限个或者可列个
离散(discrete)型：取值 至多可列个
随机变量X
非离散型
6.1 全概率公式
先验概率
6.2. 逆概公式（贝叶斯公式）
后验概率 如果把 B 看成“结果”， Ai ， i 1,2, , 看成导致这一结果的可能的“原因”. 全概率公式可以看成为“由原因推结果” 贝叶斯公式正好相反，可以看成是“由结果推原因”.
7.伯努利(Bernoulli)概型
在单次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则在n次独立重复试验中 利用上面关系式和表达式计算概率的数学模型，称为二项概型或独立试验序列概型