02 原子的结构和性质【】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为、、和，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R 及整数n 1、n 2的数值。

221211()R n n ν=-解：将各波长换算成波数：1656.47nm λ= 1115233v cm --=2486.27nm λ= 1220565v cm --= 3434.17nm λ= 1323032v cm --=4410.29nm λ= 1424373v cm --=由于这些谱线相邻，可令1n m =，21,2,n m m =++……。

列出下列4式：()22152331R R m m =-+()22205652R Rm m =-+()22230323R R m m =-+()22243734R Rm m =-+(1)÷(2)得：()()()23212152330.7407252056541m m m ++==+用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。

将m=2带入上列4式中任意一式，得：1109678R cm -=因而，氢原子可见光谱（Balmer 线系）各谱线的波数可归纳为下式：221211v R n n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 式中，112109678,2,3,4,5,6R cm n n -===。

【】按Bohr 模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。

解：根据Bohr 提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：22204n n n m e r r υπε= n=1，2，3，…… 式中，,,,,n n m r e υ和0ε分别是电子的质量，绕核运动的半径，半径为n r 时的线速度，电子的电荷和真空电容率。

同时，根据量子化条件，电子轨道运动的角动量为： 2n n nh m r υπ=将两式联立，推得：2202n h n r me επ=；202ne h n υε= 当原子处于基态即n=1时，电子绕核运动的半径为：2012h r me επ=()()23412211231196.62618108.854191052.9189.1095310 1.6021910J s C J m pm kg C π------⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯若用原子的折合质量μ代替电子的质量m ，则：201252.91852.91852.9470.99946h m pm r pm pme επμμ==⨯==基态时电子绕核运动的线速度为：2102e h υε=()21934122111.60219102 6.62618108.8541910C J s C J m -----⨯=⨯⨯⨯⨯612.187710m s -=⨯【】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。

(b)上述两谱线产生的光子能否使：（i ）处于基态的另一氢原子电离？（ii ）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为197.4410J -⨯）？(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补罗意波的波长。

解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：18212.1810n E J n -=-⨯⋅式中n 是主量子数。

第一激发态(n ＝2)和基态(n ＝1)之间的能量差为：1818181212211( 2.1810)( 2.1810) 1.641021E E E J J J ---∆=-=-⨯⋅--⨯⋅=⨯原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：81341181(2.997910)(6.62610)1211.6410ch m s J s nm E J λ---⨯⋅⨯⨯⋅===∆⨯第六激发态(n ＝7)和基态(n ＝1)之间的能量差为：1818186712211( 2.1810)( 2.1810) 2.141071E E E J J J ---∆=-=-⨯⋅--⨯⋅=⨯所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：81346186(2.997910)(6.62610)92.92.1410ch m s J s nmE J λ---⨯⋅⨯⨯⋅===∆⨯这两条谱线皆属Lyman 系，处于紫外光区。

（b ）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：ΔE ∞=E ∞-E 1=-E 1=×10-18J而 ΔE 1=×10-18J<ΔE ∞ ΔE 6=×10-18J<ΔE ∞所以，两条谱线产生的光子均不能使处于基态的氢原子电离，但是 ΔE 1>ФCu =×10-19JΔE 6>ФCu =×10-19J所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。

（c ）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：2h h p mv m E λ===∆式中ΔE 为照射到晶体上的光子的能量和ФCu 之差。

应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长：34'1131181926.62610519(29.109510)(1.64107.4410)J spmkg J J λ----⨯⋅==⎡⎤⨯⨯⨯⨯-⨯⎣⎦34'6131181926.62610415(29.109510)(2.14107.4410)J spmkg J J λ----⨯⋅==⎡⎤⨯⨯⨯⨯-⨯⎣⎦【】请通过计算说明，用氢原子从第六激发态跃迁到基态所产生的光子照射长度为1120pm 的线型分子22CH CHCHCHCHCHCHCH ，该分子能否产生吸收光谱。

若能，计算谱线的最大波长；若不能，请提出将不能变为能的思路。

解：氢原子从第六激发态（n=7）跃迁到基态（n=1）所产生的光子的能量为：22114813.59513.59513.5957149H E eV eV eV ⎛⎫∆=-⨯--⨯=⨯ ⎪⎝⎭6113.32 1.28510eV J mol -≈≈⨯而22CH CHCHCHCHCHCHCH 分子产生吸收光谱所需要的最低能量为：82222254222549888C h h h E E E ml ml ml ∆=-=-=⨯()()234231129 6.6261089.109510112010J s kg m ---⨯⨯=⨯⨯⨯⨯194.28210J -=⨯ 512.57910J mol -=⨯显然8H C E E ∆>∆，但此两种能量不相等，根据量子化规则，22CH CHCHCHCHCHCHCH 不能产生吸收光效应。

若使它产生吸收光谱，可改换光源，例如用连续光谱代替H 原子光谱。

此时可满足量子化条件，该共轭分子可产生吸收光谱，其吸收波长为：()()3481234231126.62610 2.998109 6.6261089.109510112010hc J s m s EJ s kg m λ-----⨯⨯⨯==∆⨯⨯⨯⨯⨯⨯460nm =【】计算氢原子1s ψ在0r a =和02r a =处的比值。

解：氢原子基态波函数为：3/2101r a s ea ψπ-⎛⎫=⎪⎭该函数在r=a 0和r=2a 0处的比值为：3/21020 2.718281aa e a e e e e a ππ----⎛⎫ ⎪⎝⎭==≈⎛⎫⎪⎭而21sψ在在r=a 0和r=2a 0处的比值为：e 2≈【】计算氢原子的1s 电子出现在100r pm =的球形界面内的概率。

1n ax n ax n axx e n x e dx x e dx c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的1s 电子出现在r=100pm 的球形界面内的概率为：100221000pm sP d ππτψ=⎰⎰⎰00221001002222330000011sin sin r r pm pma a e r drd d r edr d d a a ππππθθφθθφππ--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰010022100223200000044224pmr r pma a a r a r a r edr e a a --⎡⎤⎛⎫==---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰100222000221pmr a r r e a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭0.728≈那么，氢原子的1s 电子出现在r=100pm 的球形界面之外的概率为=。

【】计算氢原子的积分：222100()sin s r P r r drd d ππϕθθφ∞=⎰⎰⎰，作出()P r r -图，求P(r)=时的r 值，说明在该r 值以内电子出现的概率是90%。

解：()222100sin srP r r drd d ππψθθφ∞=⎰⎰⎰22222200001sin sin r r r r r drd d d d e r drππππθθφφθθππ∞∞--⎫==⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰222221442rr r r r r e dr r e re dr ∞∞---⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰22221114222r r r rr e re e dr ∞---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎰22221114224r r r r r e re e ∞---⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()22221r e r r -=++ 根据此式列出P(r)-r 数据表： r/a 0 0P(r)根据表中数据作出P(r)-r 图示于图中：由图可见：02.7r a =时，()0.1P r =02.7r a >时，()0.1P r <02.7r a <时，()0.1P r >即在r=2.7a 0的球面之外，电子出现的概率是10%，而在r=2.7a 0的球面以内，电子出现的概率是90%，即：2.7222100sin 0.90a s r drd d ππψθθφ=⎰⎰⎰0.00.20.40.60.81.0P (r )r/a 0图 P(r)-r 图【】已知氢原子的归一化基态波函数为()[]1/23100exp /s a r a ϕπ-=-(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量； (b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。

解：（a ）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton 算符作用于ψ1s 时，若所得结果等于一常数乘以此ψ1s ,则该常数即氢原子的基态能量E 1s 。

氢原子的Hamiltton 算符为：22220ˆ84h e H m r ππε=-∇- 由于ψ1s 的角度部分是常数，因而ˆH与θ，ф无关：2222201ˆ84h e H r m r r r r ππε∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂⎝⎭ 将ˆH作用于ψ1s ，有： 222112201ˆ84s s h e H r m r r r r ψψππε⎡⎤∂∂⎛⎫=--⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦ 22211220184ss h e r m r r r r ψψππε∂∂⎛⎫=-- ⎪∂∂⎝⎭222211122201284s s s h e r rm r r r r ψψψππε⎛⎫∂∂=-+- ⎪∂∂⎝⎭()57112222222012201284r r a a sh e r a e r a e m r r ππψππε------=--+-()22012200284s h r a e mra r ψππε⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦ 22122200084sh e ma a ψππε⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ （r=a 0）所以22122200084h e E ma a ππε=-=… =×10-18J 也可用*11ˆs sE H d ψψτ=⎰进行计算，所得结果与上法结果相同。