01.量子力学基础知识1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li 原子由电子组态(1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以1 4 17 1.491 104cm 1670.8 10 7cmh N A6.626 10 34 J s 4.469 1014s 16.6023 1023mol-1 178.4kJ mol波长λ /nm312.5365.0404.7546.1光电子最大动能E k/10-19J 3.41 2.56 1.950.75作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank 常数(h)值、钠的脱出功(W) 和临阈频率(ν0)。

解：将各照射光波长换算成频率v,并将各频率与对应的光电子的最大动能E k 列于下表：λ/nm312.5365.0404.7546.1v /1014s－19.598.217.41 5.49E k/10 －19J 3.41 2.56 1.950.75由表中数据作图，示于图中由式hv hv0 E k 推知hE k E kv v0 v即Planck 常数等于E k v图的斜率。

选取两合适点，将E k 和v值带入上式，即可求出h。

2.70 1.05 10 19 J 34 h 14 16.60 1034 Jgs8.50 600 1014 s 1kJ· mol-1为单位的能量。

解：82.998 108m s670.8m14 14.469 1014s 1图 1.2 金属的E k 图319.109 10 31kg12 6.626 10 34 Jgs 4.529 1014s 1 2 9.109 10 31kg 8.12 105mgs 11.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：-1a) 质量为 10-10kg ，运动速度为 0.01m · s 的尘埃； b) 动能为 0.1eV 的中子； c)动能为 300eV 的自由电子。

解：根据关系式：h 6.626 10 34 J s mv 10 10 kg 0.01m s6.626 1034J s2 1.675 10 27kg 0.1eV 1.602 10 19J eV 9.403 10-11m(3) h hp 2meV6.626 10 34 J s2 9.109 10 31kg 1.602 10 19C 300V 7.08 10 11m【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 加速后运动时的波长。

图中直线与横坐标的交点所代表的 v 即金属的临界频率 v 0 ，由图可知， v 0 4.36 因此，金属钠的脱出功为：W hv 0 6.60 10 34Jgs 4.36 1014s 1 192.88 10 19J14 11014s 11.3】金属钾的临阈频率为 5.464×10-14 s -1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？hv hv 0解：12h v v 0 2 m12 mv 2342 6.626 10 34Jgs2.998 108 mgs 300 10 9m 14 15.464 1014s 1(1)(2)226.626 10 22m200kV ，计算电子解：根据de Broglie 关系式：h h hp m 2meV6.626 10 34 Jgs2 9.109 10 31kg 1.602 10 19C 2 105V122.742 10 12 m 【1.6】对一个运动速度= c （光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：① ②h③h④E⑤1mv p mvv v 21mm结果得出2 的结论。

上述推导错在何处？请说明理由。

解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：E hvp h/式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。

根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：pm知①，②，④和⑤四步都是正确的。

微粒波的波长λ服从下式：u/v式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ，但③中用了u / v ，显然是错的。

在④中，E hv 无疑是正确的，这里的E 是微粒的总能量。

若计及E 中的势能，则⑤ 也不正确。

【1.7】子弹（质量0.01kg ，速度1000m· s-1），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s-1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m· s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：子弹：34h 6.26 10 34J s 34x 1 6.63 10 34m m v 0.01kg 1000 10%m s1尘埃：h 6.626 10 34J s 25x 9 1 6.63 10 m m v 109kg 10 10%m s1花粉：mv346.626 10 34J s 2013 1 6.63 10 m10 13kg 1 10% m s 16.626 10 34J s电子：mv 9.109 1031kg 1000 10% m s17.27 10 m1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度为的10% ，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：hhVx mgV mg 2eV / m 10%6.626 10 34 Jgs 102 9.109 10 31kg 1.602 10 19C 103V103.88 10 10 m这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。

人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。

因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

1.9】用不确定度关系说明光学光栅周期约10 6m ）观察不到电子衍射（用100000V 电压加速电子）。

解：解法一：根据不确定度关系，Vx h h 1.226 10 9 Vp x h / 电子位置的不确定度为：1 gmV911.226 10 9 g m10000111.226 10 11 m这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。

解法二：若电子位置的不确定度为10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：h 6.626 10 34J gsp x 6x 10 m6.626 10 28Jgsgm 1在104V 的加速电压下，电子的动量为：p x m x 2meV2 9.109 10 31 kg 1.602 10 19 C 104V5.402 10 23 Jgsgm 1由Δp x和p x估算出现第一衍射极小值的偏离角为：1。

arcsin arcsin pxp x6.626 10 28 J gsgm 1 Barcsin 23 15.402 10 23 J gsgm 1 B arcsin10 50o 这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进， 落到同一个点上。

因此， 用光学光栅观察不到电子 衍射。

【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符： d d 2x, , 2 ,log,sin, dx dx解：由线性算符的定义： A ?（ i j ） A ? i A ? j d d 2x, ,i d d xdx i d2 dx dx 2为线性算符 ;而 dx 为线性自轭算符 . 1.11】 解：d 2 dx 2 d 2 ax 22 xe dx 2d ax 2e dx 2axe ax 6axe ax 2d 2 ax 2 2 xe ax 是算符 dx 应用量子力学基本假设Ⅱ d2 4a 2 2 4a dx 2 4a 2x 2 4a 2x 2 xe ax2 ax 22ax e6a 因此，本征值为 224a x 的本征函数，求其本征值。

算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得： x 2 xe ax 2 3 ax 24ax eax 2 2 3 ax 24axe 4a x e4a 2x 3e ax 26a 。

d 22dx 2 的本征函数？若是，求出本征值。

1.12】下列函数中，哪几个是算符e x ,sin x, 2cos x,x 3,sin x x d 2 e x 2， e 是 dx 2 的本征函数，本征值为 d 2cosx d 22 解： dx d 2sin x 1 2 sin x 1dx 2 d 22 (2cos x )dx1。

sinx, 2sinx 是dx 2 的本征函数，本征值为2cosxdi1.13】 e im 和 cosm 对算符 d 是否为本征函数？若是，求出本征值。

d imimie ieimme解 ：d， imdi所以， e im 是算符d的本征函数，本征值为m 。

d i cos m i sin m gm im sin m c cosm而dd所以 cos m 不是算符 d 的本征函数。

1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。

证：在长度为 l 的一维势箱中运动的粒子的波函数为：nnn 和 n '皆为正整数，因而n n和lnxn ' x d根据定义， n x 和 n ' x 互相正交。

1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为2 n x sinl l 0 x 1 令 n 和 n '表示不同的量子数，积分： ln x n=1， 2，3， n x 0 2l sin l 0 xdx gsin nn 2 sin l l n n 2nn sin x l nnsin n n sin x dx sinsin n x dxlnn sin x l nn2nn sin x l nnnn nnn皆为正整数，所以积分：nx2l sin n x式中 l 是势箱的长度， x 是粒子的坐标 0 x l 值。

解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：nxcos dx 0 ll1.16】求一维势箱中粒子在 1和 2 状态时，在箱中 0.49l ~ 0.51l 范围内出现的概率，并与图 1.3.2（ b ）相比较，讨论所得结果是否合理。

2x22 2 x1xsin 1xsin 解：（a ）llll2sin 2 x2 2 2 2 x2xl sin l2xsin ll22由上述表达式计算 1x和2 x，并列表如下：H ?ψn (x) 22 h 22 d 22 ( 22 8 πm d x 2 n πx sin l )h 22 d ( 8π2m dx2 n π n πxcos )l l l即：22 E 8n m h l 2 2）3） h 28 2mh 28 2m l 2由于 x? n(x)*nx x?l xsinx 22n由于1 p?xp?x 2sin( nsin n xl2sinn xn 2h 2 8ml 2n(x)n（ x ）, x?无本征值，只能求粒子坐标的平均值：x dxdxl 2sin nllx lx2sin n x dx ll1 cos 2n xldx2n xsinl2n lsin 2n x dx 0lnx cn x ,p?x 无本征值。