22
解析：因为函数 f(x)在 x＝x0 处可导，所以可得 f′(x0) fx0＋h－fx0 ＝lim ，所以此极限仅与 x0 有关而与 h 无关， h→0 h 故选 B.
23
二
导数的运算
【例 2】求下列函数的导数： (1)y＝x2sinx； ex ＋ 1 (3)y＝ x ； e －1 (2)y＝ln(x＋2)； x＋cosx (4)y＝ . x＋sinx
8
4. 一木块沿一斜面下滑， 下滑的水平距离 S(m)与时间 t(s) 12 之间的函数关系式为 S＝4t ，t＝3 s 时，此木块在水平方向上 1.5 m/s 的瞬时速度为 .
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S3＋Δt－S3 1 3 解析：v＝ ＝4Δt＋2，当 Δt 趋向于 0 时， Δt v 趋向于 1.5，故所求瞬时速度为 1.5 m/s.
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【思路点拨】根据函数的求导公式可得答案．
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【解答过程】 (1)y′＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′＝ 2xsinx ＋ x2cosx. 1 1 (2)y′＝ (x＋2)′＝ . x＋2 x＋2 ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ －2ex (3)y′＝ ＝ x x 2 2. e －1 e －1
＋30t2＋45t＋4，其中 h 的单位为 m，t 的单位为 s. ①h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么； ②求第 2 s 内的平均速度； ③求第 2 s 末的瞬时速度．
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【思路点拨】(1)利用导数定义求函数的导数时，先算 Δy fx＋Δx－fx 函数的增量 Δy， 再算比值Δx＝ ， 再求极限 y′ Δx Δy ＝Δ lim x→0 Δx；(2)①由 h(t)表示航天飞机发射 t 秒后的高度分 h2－h0 别说明 h(0)，h(1)，h(2)的意义；②直接由 得到第 2 －0 2 s 内的平均速度；③求出 2 秒末的瞬时变化率，取极限值 求第 2【解答过程】(1)y′＝Δ lim x→0 Δx fx＋Δx－fx x＋Δx2－x2 ＝ ＝ Δx Δx x2＋2x·Δx＋Δx2－x2 ＝ Δx ＝2x＋Δx， Δy 所以 y′＝Δ lim lim x→0 Δx＝Δ x→0 (2x＋Δx)＝2x.
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(2)①h(0)表示航天飞机发射前的高度； h(1)表示航天飞机升空后 1 s 的高度； h(2)表示航天飞机升空后 2 s 的高度； ②航天飞机升空后第 2 秒内的平均速度为 h2－h0 5×23＋30×22＋45×2＋4－4 － v＝ ＝ 2 2 －0 ＝125(m/s)．
20
2 f 1 ＋ Δ x － f 1 [ 1 ＋ Δ x ＋1]－2 Δy 解析：Δx＝ ＝ ＝2＋Δx. Δx Δx
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【跟踪训练 2】设函数 f(x)在 x＝x0 处可导，则 fx0＋h－fx0 lim ( ) h→0 h A．与 x0，h 都有关 B．仅与 x0 有关而与 h 无关 C．仅与 h 有关而与 x0 无关 D．与 x0、h 均无关
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【温馨提示】(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy (3)得导数 f′(x0)＝Δ lim x→0 Δx.简记作：一差、二比、三极 限．
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【跟踪训练 1】在曲线 y＝x2＋1 的图象上取一点(1,2)及邻 Δy 近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δx为( 1 A．Δx＋Δx＋2 C．Δx＋2 ) 1 B．Δx－Δx－2 1 D．2＋Δx－Δx
第 1讲
导数的概念及运算
1
2
1 2 1. 物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S＝2gt S1＋Δt－S1 其中 t 为经历的时间， g＝9.8 m/s ， 若 V＝Δt lim →0 Δt
2
＝9.8 m/s，则下列说法正确的是( C ) A．0～1 s 时间段内的速率为 9.8 m/s B．在 1～(1＋Δt)s 时间段内的速率为 9.8 m/s C．在 1 s 末的速率为 9.8 m/s D．若 Δt＞0，则 9.8 m/s 是 1～(1＋Δt)s 时段的速率
10
5.已知 f(x)＝x2＋2x· f′(1)，则 f′(0)＝ 4
.
11
解析： f′(x) ＝ 2x ＋ 2f′(1) ⇒ f′(1) ＝ 2 ＋ 2f′(1) ，所以 f′(1)＝－2，f(x)＝x2－4x，f′(x)＝2x－4，所以 f′(0)＝－4.
12
13
一
利用定义求函数的导数
【例 1】(1)用定义法求 y＝x2 的导数． (2)航天飞机升空后一段时间内，第 t s 时的高度 h(t)＝5t3
3
S1＋Δt－S1 解析： 由导数的物理意义可知， V＝Δt lim 指 →0 Δt 的是物体在 1 秒末的瞬时速度，由此可知正确答案是 C.
4
2. f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则 x0＝(C ) A. 2 C．± 2 B．－ 2 D．± 1
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解析：用幂函数的导数公式求出 f′(x)，解方程可得答 案．
6
3. 函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值 相应的增量为 f(1＋Δx)－f(1) .
7
解析：因为函数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δ x， 所以函数在 1＋Δx 处的函数值为 f(1＋Δx)， 所以函 数 y＝f(x)的自变量在 x＝1 处有增量 Δx 时，函数值相 应的增量为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)．
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③航天飞机升空后在 t＝2 时的位移增量与时间增量的比 h2＋Δt－h2 3 2 值为 v＝ ＝ [5(2 ＋ Δ t ) ＋ 30(2 ＋ Δ t ) ＋45(2＋Δt) Δt ＋ 4 － (5×23 ＋ 30×22 ＋ 45×2 ＋ 4)]/Δt ＝ 5Δt3＋60Δt2＋225Δt 2 ＝ 5( Δ t ) ＋ 60( Δ t ) ＋ 225 ， Δt 当 Δt 趋向于 0 时，v 趋向于 225， 因此，第 2 s 末的瞬时速度为 225 m/s.