'
基础达标
1. (教材改编题)一物体的运动方程是s=3+t2，则在时 间段[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A. 0.41 B. 3 C. 4 D. 4.1 D 解析：
s 3 2.12 3 22 4.1 t 2.1 2
2. 设函数f(x)可导，则 于
f 1 3x f 1 等 lim x 0 3x
A.f′(1) B. 3f′(1) C. A 解析：
1 f′(1) D. f′(3) 3
f 1 x f 1 lim f ' (1) x 0 x
3. 函数 y
sinx A. 2 x
cosx x
的导数是(
)
B. sin x
xsinx cosx D. x2
题型三 导数的几何意义的应用
1 3 4 y x 【例3】已知曲线 3 3
，求曲线在点P(2,4)处的
切线方程．
解：y′=x2，∴切线的斜率k=y′|x=2=4， ∴切线方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0.
变式3-1 (2011衡阳八中高三月考)曲线f(x)=xln x在点x=1 处的切线方程为( ) A. y=2x-2 B. y=2x+2 C. y=x-1 D. y=x+1 C 解析： 因为f′(x)=ln x+1，所以f′(1)=ln 1+1=1.又f(1)=0， 所以所求切线方程为y-f(1)=f′(1)(x-1)，即y=x-1.
x 1 lnx lnx ' x 1 lnx x 1' x y x 12 x 12 1 lnx x x 1 x 12
'
(3)y′=(3x)′ex+3x(ex)′-(3x)′+(e2)′ =3xln 3〓ex+3x〓ex-3x〓ln 3 =3x〓ln 3(ex-1)+3x〓ex.
f x0 x f x0 lim 函数f′(x)=________________________ 称为f(x)的导函数 x 0 x
，导函数有时也记作y′.
பைடு நூலகம்
4. 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a＞0) f(x)=ex f(x)=logax (a＞0，且a≠1) f(x)=ln x 导函数 0 f′(x)=____ f′(x)=______ nxn-1
lnx x 1
(3)y=3xex-3x+e2.
解： (1)方法一：y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x， 所以y′=24x3+9x2-16x-4. 方法二：y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)〓2 =24x3+9x2-16x-4. 1 （2）
(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) 上点_________ (x0，f(x0)) 处的____________ 切线的斜率 ．相应地，切线方程为
y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) ． __________________
3. 函数f(x)的导函数
f(x)在x=x0处的导数，记作f ′(x0)或y ′ |x=x0， 即 f ′(x0)=
x 0
f x0 x f x0 y lim x 0 ____________________=________________ 为函数 x 0 x x lim
lim f x0 x f x0 x
f′(x)±g′(x) (2)[f(x)〒g(x)]′=_______________ ； f′(x)g(x)+f(x)g′(x； ) (3)[f(x)〓g(x)]′=____________________
f x f ' xg x f xg ' x (4) ______________________ (g(x) 0) 2 [ g x ] g x
经典例题
题型一 应用导数概念求导数 【例1】求函数y=x2在x=1处的导数．
解：y=(1+x)2-12=2x+(x)2， ∴
f ' (1) lim y lim (2 x) 2 x 0 x x 0
y =2+ x, x
，
即f′(1)=2.
题型二 导数的运算 【例2】求下列函数的导数． (1)y=(3x3-4x)(2x+1)； (2)y=
f′(x)=______ cos x f′(x)=______ -sin x f′(x)=______ axln a f′(x)=______ ex
1 f′(x)=______ xlna
1 f′(x)=______ x
5. 导数运算法则
(1)[cf(x)]′=__________ cf′(x) ；
cosx xsinx C. x2
D 解析：
' ' cosx x cosx x xsinx cosx xsinx cosx y' x2 x2 x2
4. (2011山东青岛模拟)设f(x)=xln x，若f′(x0)=2， 则x0=( ) A. e2 B. ln 2 C.
ln 2 2
D. e
D 解析： f′(x)=x′ln x+x(ln x)′=ln x+1， ∴f′(x0)=ln x0+1=2， ∴ln x0=1，∴x0=e.
5. 曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线的斜率 为________ 3 ． 解析： ∵y′=ex+xex+2，∴y′|x=0=e0+0+2=3， ∴切线斜率k=3.
第十二节 导数的概念及运算
基础梳理
1. 函数f(x)从x1到x2的平均变化率 f x2 f x1 函数f(x)从x1到x2的平均变化率为_____________ ，
y 示为________ ． x
x2 x1
若⊿x=x2-x1， ⊿ y=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率