离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角
A．AD=AE
C．BE=CD
B． ∠AEB=∠ADC
D．AB=AC
例2：已知：如图，CD⊥AB， BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、 CD相交于O点，∠1=∠2，图中全 D 等的三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
例3. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
∠CAB=∠DAB （AAS） 找任一角 或者 ∠CBA=∠DBA
如图，已知∠1= ∠2，要识别△ABC≌ △CDA， 需要添加的一个条件是----------------D 2 1 C
A
B
思路3： 已知一边一角（边与角相邻）： 找夹这个角的另一边 找夹这条边的另一角 找边的对角 AD=CB （SAS） ∠ACD=∠CAB （ASA） ∠D=∠（ B AAS）
EBD＝FCD（已证） BD＝CD（已知） ∴△DEB≌△DFC（AAS） ∴DE＝DF（ 全等三角形的对应边相等）
2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE， BE = DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。
证明： AF CE AE CF
又
BE ∥ DF
1 2
13.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:BC∥EF
F E D
A B C
14.已知：如图21，AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC
F A B E D
C
34
11. 求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 1 AD ( AB AC ) 已知：如图，AD是△ABC 的中线，求证： 2 证明： 延长AD到E，使DE＝AD，连结BE A ∵ AD是△ABC 的中线 ∴ BD＝CD 又 ∵ DE＝AD ADC EDB ∴ △ADC ≌ △EDB ∴ AC = EB 在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC 即 2AD < AB+AC 1 ∴ AD ( AB AC ) 2
全等三角形的判定方法
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
知识点
3.三角形全等的证题思路：
找夹角 SAS ① 已知两边找另一边 SSS 找直角 HL
边为角的对边 找任一角 AAS 找夹角的另一边 SAS ② 已知一边一角 边为角的邻边 找边的对角 AAS
找夹边 ASA ③已知两角 找任一边 AAS
∠ADC,求证:AE平分∠DAB D C
F E
∴BC⊥DC 又∵EF⊥AD
∴EF=CE
又∵E是BC的中点
A B 证明:作EF⊥AD,垂足为F ∵DE平分∠ADC AB//CD,∴∠C=∠B 又∵∠B=90º ∴∠C=90º
∴EB=EC
∴EF=EB ∵∠B=90º ∴EB⊥AB ∴AE平分∠DAB
10. 如图，AB=DE，AF=CD， EF=BC，∠A＝∠D， 试说明：BF∥CE
E
C
F
B D
例8. 如图，在△ABC中，两条角平分线BD和 CE相交于点O，若∠BOC=1200，那么∠A的度数 是 600 . A E D C
O
B
例9、如图：在△ABC中，∠C =900， AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。 c
D
A
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。 用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E
∠ODB＝∠OEC(垂直的定义) ∴△OBD≌△OCE(ASA) ∴OB＝OC
4. 如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的 中点，证明DM=DN，
C M
N
A
B
D
28
5.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点 B，C，D在一条直线上求证：BE=AD
证明：
E
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
找夹角的另一角 ASA
二.角的平分线： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平 分线上 (已知） ∴ QD＝QE（角的平分线上的点到角的两
边的距离相等）
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距
AB ＝ DB
∠ABE ＝ ∠ DBC BE＝BC ∴△ABE≌△DBC(SAS) 证明：∵△ABD，△BCE是等边三角形。 ∴∠DBA＝△EBC＝60° ∵ A、B、C共线∴∠DBE＝60° ∴∠ABE＝∠DBC 在△ABE与△DBC中 ∴∠2＝∠1 在△BEF与△BCG中 ∠EBF ＝ ∠ CBG BE ＝ BC
的 两边距离相等） . 又∵点 F在∠CBD 的平分线上，
交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
G M
H
FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换） ∴点F在∠DAE的平分线上
二、全等三角形识别思路复习
如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个 条件-----------------------，使△ABC≌ △DCB。 A D
8 . 已 知 ： ΔABC 和 ΔBDE 是 等 边 三 角 形 , 点D在AE的延长线上。 求证：BD + DC = AD
A E B
分析：∵AD = AE + ED ∴只需证：BD + DC = AE + ED ∵BD = ED ∴只需证DC = AE即可。
C
D
32
9.如图AB//CD,∠B=90º ,E是BC的中点,DE平分
离相等的点在角的平分线上）
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 BM上, PD⊥AB于D，PE⊥BC于E
B A ND P M F C
E ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距
B C F E A D
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
三角形全等判定方法4
有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三
角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）。
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
三角形全等判定方法5
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等(HL）。
在Rt△ABC和Rt△DEF中 AB=DE （已知 ） A D
AC=DF（已知 ）
C ∴ △ABC≌△DEF（HL） B F E
知识点
1.全等三角形的性质:
对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定: ①一般三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL
∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE
A
即∠BCE=∠DCA
在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
B
C
D
6. 如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边 三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。
E
B
10.如图，∠ACB=90°，AC=BC， BE⊥CE，AD⊥CE于D， AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。
B E
D
C
A
1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分别垂直 于AB及AC交延长线于E、F，求证：DE＝DF
证明：∵∠ABD＝∠ACD（已知） ∴∠EBD＝∠FCD（ 等角的补角相等） 又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知） ∴∠E＝∠F＝900（垂直的定义 ） 在△DEB和△DFC中 ∵ E F (已证)
又 BE DF
AEB ≌ CFD A C AB ∥CD
3. 如图CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E， BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，求证OB＝OC。
证明：∵∠1＝∠2 CD⊥AB，BE⊥AC
∴OD＝OE(角平分线的性质定理)
在△OBD与△OCE中 ∠BOD ＝ ∠ COE( 对 顶 角 相 等 ) OD ＝ OE( 已 证 )