(2)从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若 A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若B⊆A， 则A是B的必要条件或B是A的充分条件；若A＝B，则A、 B互为充要条件．
(3)等价法：即利用等价关系“A⇒B⇔綈B⇒綈A”判断， 对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用 等价法．
例 2 求证关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根 的充要条件是 ac＜0. 证明：必要性：由于方程 ax2＋bx＋ c＝0 有一正根和一负根， c 所以Δ＝b2－4ac＞0，x1·x2＝ ＜0，所以 ac＜0. a c 充分性：由 ac＜0 可得 b2－4ac＞0 及 x1·x2＝ ＜0， a 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根．
∴充分性成立． 因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充要条件 是4a＋2b＋c＝0.
题型三 充要条件的探求
例 3 圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条件是 ________． 解析：当圆 x2＋ y2＝ 1 与直线 y＝ kx＋ 2 有一个公共点时，有 |2| ＝1，解得 k＝± 3.结合图形可知，圆与直线没有公共点的充 k2＋1 要条件是－ 3＜k＜ 3. 答案：－ 3＜k＜ 3 规律方法：解决此类一般是从结论出发找出结论成立的必要条 件， 再证明在这个条件下结论成立． 证明过程中要能够运用命题所涉 及到的相关知识和方法．
►变式训练 3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充 要条件是( ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直 线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图 象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
规律方法：数学概念的定义具有对称性，即数学概念的定义 都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所 具有的性质． 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充 分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．
►变式训练பைடு நூலகம்2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的充 要条件是4a＋2b＋c＝0. 证明：先证必要性： ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，
∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a· 22＋b· 2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0， ∴必要性成立．
再证充分性：∵4a＋2b＋c＝0， ∴c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx －4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，
1．2.2
充要条件
1．理解充要条件的意义． 2．会判断、证明充要条件． 3．通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命 题的真假．
研 题 型 学 习 法
题型一 充分条件、必要条件与 充要条件的判断
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数； (2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c； (4)p：x＞5，q：x＞10； (5)p：a＞b，q：a2＞b2.
答案：A
析疑难 提 能 力
忽视命题的等价性致误． 【典例】 已知方程 x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0 有两个大于 2 的 根，试求实数 m 的取值范围． 解析：由于方程 x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0 有两个大于 2 的根， 设这两个根为 x1，x2，则有
2 2 Δ＝ 4 （ m ＋ 2 ） － 4 （ m －1）≥0，
解析：(1)在△ABC中， 显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p， 但綈pD⇒/綈q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为p：A＝{(1，2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，
所以A B，所以p是q的充分不必要条件．
题型二 充要条件的证明
（x1－2）＋（x2－2）＞0， （x1－2）（x2－2）＞0.
x1＋ x2＝ 2（ m＋ 2）， 结合 解得 m＞5. 2 x x ＝ m － 1 1 2
所以当 m∈(5，＋∞)时，方程 x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0 有两个 大于 2 的根．
【易错剖析】容易得到如下错解： 由于方程 x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0 有两个大于 2 的根，设这两 个根为 x1，x2，则有 Δ＝4（m＋2） －4（m －1）≥0， 解得 m＞ x1＋x2＝2（m＋2）＞4， x1x2＝m2－1＞4
►变式训练
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条 件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必 要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)· (y－2) ＝0.
2 2
5.
所以当 m∈( 5，＋∞)时，方程 x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0 有两 个大于 2 的根． 之所以说这个解法是错误的，是因为：若 x1＞2，x2＞2，则有
x1＋x2＞4， 成立； x1x2＞4
x1＋x2＞4， 但若 则不一定有 x1＞2，x2＞2 成立， x1x2＞4， x1＋x2＞4， 即 是 x1＞2，x2＞2 的必要不充分条件． x1x2＞4 （x1－2）＋（x2－2）＞0， 而 才是 x1＞2，x2＞2 的充要条件． （ x － 2 ）（ x － 2 ）＞ 0 1 2
解析：命题(1)和(3)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是 q的充要条件； 命题(2)中，p⇒q，但qD⇒/p，故p不是q的充要条件； 命题(4)中，pD⇒/q，但q⇒p，故p不是q的充要条件； 命题(5)中，pD⇒/q，且qD⇒/p，故p不是q的充要条件．
规律方法：判断充要条件的三种方法． (1)定义法：首先分清条件和结论，由条件可推出结论， 条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条 件是结论成立的必要条件．