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例4、 判断下列命题中前者是后者的什么条件？ （1）若a>b,c>d，则a+c>b+d。 （2）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 （3）若a2>b2，则a>b。
(1) p (2) p (3) p
q, q q, q q, q
p 前者是后者的充分不必要条件。 p 前者是后者的必要不充分条件。 p 前者是后者的既不充分也不必要条件。
变式训练 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． 2 (1)p：|a|≥2，a∈ R，q：方程 x ＋ax＋ a＋ 3＝ 0 有 实根； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (3)p：x＝1 或 x＝ 2， q：x－1＝ x－1.
解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2 ＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝ 0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤ －2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知， 由q能推出p，而由p不能推出q，所以p是q的必 要不充分条件．
3、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},
那么”x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的(B
A.充要条件 B必要不充分条件
)
C充分不必要
D不充分不必要
注：集合法
4、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是(A ) A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
练习
1、已知p,q都是r的必要条件， s是r的充分条件，q是s的充 分条件，则 （1）s是q的什么条件？充要条件 （2）r是q的什么条件？ 充要条件 （3）P是q的什么条件？必要条件 变.若A是B的必要而不充分条件，C是 B的充要条件，D是C的充分而不必要 充分不必要条件 条件，那么D是A的________
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
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例2、下列“若p，则q”形式的命题中， 哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形 的面积相等; (3)若a>b,则ac>bc.
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例4 、 判断下列问题中，p是q成立的什么条件？ p q （1） x2>1 x<-1 （2） |x-2|<4 -x2+4x+5>0 （3） xy≠0 x≠0或y≠0
(1)、(2) p （3）p q，q q，q p p （原问题 q p）
例5 求证：一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝ 0 有一
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例
判断下列命题是真命题还是假命题?
（1）若x>a2+b2,则x>2ab。
（2）若ab=0，则a=0。
（3）有两角相等的三角形是等腰三角形。
（4）若a2>b2，则a>b。
(1)、（3）为真命题。
（2）、（4）为假命题。
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如果命题“若p则q”为真，则记作p
q（或q
2:设x、y∈R， 求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0 充要条件的证明的两个方面：
1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0
2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y| 3、点明结论
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课本P 12 练习3、4。
(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是 矩形”； 而由“四边形是矩形”可以推出“四边形 的对角线相等”，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (3)当 x＝ 1 或 x＝ 2 时，x－ 1＝ x－ 1显然成立；而 解方程 x－1＝ x－ 1，可得 x＝1 或 x＝2，所以 p 是 q 的充要条件．
【解】 (1) ∵ a ＋ b ＝ 0 a2 ＋ b2 ＝ 0 ，反过来， 若 a2＋ b2＝ 0⇒a＋b＝ 0，所以 p是 q的必要不充分 条件． (2)因为函数f(x)＝2x＋1⇒f(x)是增函数，但f(x)是 增函数 f(x)＝ 2x ＋ 1，所以 p是 q 的充分不必要 条件． (3)∵p⇒q且q⇒p，∴p是q的充要条件． (4)取α＝150°，β＝30°，α>β，但sin 150°＝ sin 30°，即p q；反之，sin 60°>sin 150°， 但60°>150°不成立，则q p，所以p是q的既 不充分也不必要条件．
练习2： 判断下列问题中，p是q成立的什 么条件？ p （1） x2>1 （2） |x-2|<4 （3） xy≠0 q x<-1 -x2+4x+5>0 x≠0或y≠0
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0， 则┐p是┐q的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
正根和一负根的充要条件是ac<0. 【思路点拨】 解答本题可先确定 p 和 q ，然后 再分充分性和必要性进行证明． 【证明】 充分性： ( 由 ac<0 推证方程有一正根 和一负根) ∵ac<0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式 Δ＝b2－4ac>0， ∴方程一定有两不等实根，
c 设为 x1， x2，则 x1x2＝ <0， a ∴方程的两根异号． 即方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 有一正根和一负根． 必要性： (由方程有一正根和一负根推证 ac<0) 2 ∵方程 ax ＋bx＋ c＝ 0 有一正根和一负根， 设为 x1， x2， c 则由根与系数的关系得 x1x2＝ <0， a 即 ac<0， 综上可知： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 有一正根和一 负根的充要条件是 ac<0.
p）
定义:如果 p q ,则说p是q的充分条件 (sufficient condition),
q是p的必要条件(necessary condition).
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例1、 下列“若p，则q”形式的命题中，哪 些命题中的p是q的充分条件? (1)若 x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 .
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（三）情感目标： 通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造 数学命题，发展体验获取知识的感受。 • 通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的 相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。 • 3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构” ，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问 题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴 露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏 困难、勇于进取的精神。 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义 ； 【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
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如果命题“若p则q”为真，则记作p
如果命题“若p则q”为假，则记作p
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q（或q
q。
p）。
则说p不是q的充分条件,
q不是p的必要条件。
例3
指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件 (在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、 “充要条件”、“既不充分也不必要条件”中 选出一种)． (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：函数f(x)＝2x＋1，q：函数f(x)是增函数； (3)p ：△ ABC 有两个角相等， q ：△ ABC 是等腰 三角形； (4)p：α>β，q：sin α>sin β. 【思路点拨】 只需按充分、必要条件的定义， 分析若p成立，q是否成立，再反过来，q成立时， p是否成立．
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1、命题： 可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系： 原命题 若 p则 q
互 否 互逆
逆命题 若 q则 p
互 否
互为
逆否
否命题 若 p则 q
互逆
逆否命题 若 q则 p
问题探究 若p是q的充分条件，那么p惟一吗？
提示：不惟一．如x>3是x>0的充分条件，x>5， x>10等也都是x>0的充分条件．
1.2《充分条件和必要条件》
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教学目标
知识目标： 1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念 。 2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念， 熟练判断四种命题间的关系。 3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化 ，转化成推理关系及集合的包含关系。 （二）能力目标： 1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大 量的问题，会观察其共性及个性。 2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事 例，观察后进行归纳，总结出一般规律。 3、培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观 察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识 体系中。
课前自主学案
温故夯基
符号 或 _____ 式子 表达的，可以 1 ．用语言、 ______
陈述句 叫_____ 命题 ． 判断真假的________
若p，则q ，其中“p”是 2．命题的结构：__________