求解含参数的两个集合的关系常用五法
判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点内容之一。

其中，含参数的两个集合的关系更是许多同学解题的难点。

怎样求解含参数的两个集合的关系题呢？本文将结合例题介绍五种破解术，供大家参考：
法一：借助数轴或韦恩图寻找关系
例1：已知全集+
=N U ，集合},3{+∈==N n n x x P ，},6{+∈==N n n x x Q , 则=U ( )
A Q P ⋃
B Q P
C U ⋃ C Q C P U ⋃
D Q C P C U U ⋃ 解：依题意得，P Q ⊂,则其韦恩图如下：
由韦恩图可知，=U Q C P U ⋃，即选C
法二：列举对比法
例2：数集},)12{(Z m m M ∈+=π与数集},)14{(Z n n N ∈±=π之间的关系是（ ） A N M ⊂ B N M = C M N ⊂ D N M ≠ 解：取 ,2,1,0,1,-=m ，则},5,3,,,{ ππππ-=M ;取 ,1,0,=n ，则},5,3,,,{ ππππ-=N . N M =∴即选B
法三：合理分类讨论，利用集合有关定义准确判断
例3：已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5
154{Z k k x x N ∈±==,则集合N M ,之间的关系为（ ）
A N M ⊂
B M N ⊂
C N M =
D N M ≠
解：设M x ∈1，则有Z k k x ∈+=111),12(5
1 当Z n n k ∈=,21时，5
154)14(511+=+=n n x N x ∈∴1 当Z n n k ∈-=,121时，5
154)124(511-=+-=n n x N x ∈∴1 从而有N M ⊂
又设N x ∈2,则Z k k k x ∈±=±=2222),14(5
15154 )(1422Z k k ∈± 表示奇数，)(12Z n n ∈+也表示奇数
Z n n k x ∈+=±=∴),12(5
1)14(5122 M x ∈∴2从而有M N ⊂ 综上可得，N M =
法四：挖掘元素的限制条件，利用它们的差异特征解题
例4（2002年全国高考题）设集合},4
12{Z k k x x M ∈+=
=，},214{Z k k x x N ∈+==,则( ) A N M = B N M ⊂
C N M ⊃
D Φ=⋂N M
解：集合M 的元素为)(,4
12412Z k k k x ∈+=+=， 集合N 的元素为)(,4
2214Z k k k x ∈+=+= 12+k 为奇数，2+k 为整数 }{}{整数奇数⊂∴则N M ⊂故选B
法五：类比不等式的传递性速判断
例5：已知集合B A ⊆，},)412(
{Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____
解：将B ，C 分别变形得},412{Z k k x x B ∈+==π，},4
2{Z k k x x C ∈+==π 在集合B 中，x 为
π4
12+k ，分子为π的奇数倍； 在集合C 中，x 为π4
2+k ，分子为π的整数倍 C B ⊂∴ 又B A ⊆ C B A ⊂⊆∴则有C A ⊂ 综上可见，求解含参数的两个集合关系题的策略是多种多样的。

只要我们结合题设条件，选择合理的解题策略，含参数的两个集合关系题则迎刃而解。