学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版
【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆
的标准方程为（ ）
A ．221259x y +=
B ．221259y x +=
C ．22179y x +=
D ．22
179
x y +=
【例2】 已知椭圆22
15x y m
+=的离心率10e 5=
，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．25
3
或3
【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a
a PF PF ，则点P 的
轨迹是（ ）
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1
2
e =
，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）
A ．22143x y +=
B ．22186x y +=
C ．2
212
x y +=
D ．2
214
x y +=
【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
e 2
=，右焦点为(0)F c ，，方程
20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，
（ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外
D ．以上三种情形都有可能
【例6】 已知22
212x y m m
+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．2m >或1m <-
B ．2m >-
C ．12m -<<
D ．2m >或21m -<<-
【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ；
典例分析
【例8】 已知焦点坐标为(40)-，，(40)，
，且6a =的椭圆方程是___________；
【例9】 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，，且G 上一点到G 的
两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．
【例10】 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为1
3
，则椭圆的方程是____________．
【例11】 若椭圆2212x y m +=的离心率为1
2
，则m = ．
【例12】 若椭圆满足条件2a =，1
e 2
=，则椭圆的标准方程为
【例13】 已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为椭圆的标准方程为____________．
【例14】 若椭圆22189x y k +=+的离心率为1
e 2
=，则k 的值等于 ．
【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：
①221128x y += ②221812x y +=
【例16】 求椭圆22
11625
x y +=的焦距、顶点坐标
【例17】 求焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16
(3)5
P ，的椭圆的方程．
【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．
【例19】 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦
1，求椭圆的方程．
【例20】 已知常数0a >，向量(0)(10)c a i ==r r ，
，，．经过原点O 以c i λ+r r
为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ-r r
为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：
是否存在两个定点E F ，，使得||||PE PF +为定值．若存在，求出E F ，的坐标；若不存在，说明理由．
【例21】 离心率为4
5
的椭圆()222210x y C a b a b +=>>∶上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为
10，
以椭圆C 的右焦点()0F c ，为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足PT PB =（B 为椭圆C 的上顶点）． ⑴求椭圆的方程；
⑵求点P 所在的直线方程l ．
【例22】 已知椭圆22
1(0)x y m n m n
+=>>上一点(68)P ，
，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的方程．
【例23】 设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF
的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且85
AP PQ =u u u r u u u r
⑴求椭圆C 的离心率；
⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：50x -=相切，求椭圆C 的方程．
【例24】 已知12F F ，是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点(1)P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=u u u u r u u u u u r r
．
⑴求椭圆C 的方程．
⑵椭圆C 上任一动点00()M x y ，关于直线2y x =的对称点为111()M x y ，，求1134x y -的取值范围．
【例25】 过椭圆C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>上一点P 引圆O ：222x y b +=的两条切线PA 、
PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点
⑴设00()P x y ，
，且000x y ≠，求直线AB 的方程； ⑵若椭圆C 的短轴长为8，且222225
||||16
a b OM ON +=，求此椭圆的方程；
⑶试问椭圆C 上是否存在满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r
的点P ，说明理由．
【例26】 已知A B C ，，均在椭圆2
22:1(1)x M y a a
+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右
焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅=u u u r u u u u r 时，有2
1219AF AF AF ⋅=u u u r u u u u r u u u r ．
⑴求椭圆M 的方程；
⑵设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任一条直径，求PE PF ⋅u u u r u u u r
的最大值．
【例27】 设椭圆22
221x y a b
+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e ， M 、
N 是直线l ：2
a x c
=上的两个动点，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．
（1）若12||||F M F N ==u u u u r u u u u r
a 、
b 的值．
（2） 证明：当||MN u u u u r
取最小值时，12
F M F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线．。