EB 2
2
定义即可求出答案．
【详解】
（1）∵ MD∥ BC，
∴ ∠ DME=∠ CBA， ∵ ∠ ACB=∠ MED=90°， ∴ △ MED∽ △ BCA； （2）∵ ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点， ∴ MB=MC=AM， ∴ ∠ MCB=∠ MBC， ∵ ∠ DMB=∠ MBC， ∴ ∠ MCB=∠ DMB=∠ MBC， ∵ ∠ AMD=180°﹣∠ DMB， ∠ CMD=180°﹣∠ MCB﹣∠ MBC+∠ DMB=180°﹣∠ MBC， ∴ ∠ AMD=∠ CMD， 在△ AMD 与△ CMD 中，
MD=CM，DE⊥AB 于点 E，连结 AD、CD．
（1）求证：△ MED∽ △ BCA；
（2）求证：△ AMD≌ △ CMD；
（3）设△
MDE
的面积为
S1，四边形
BCMD
的面积为
S2，当
17
S2=
S1
时，求
cos∠
ABC
的
5
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ ABC= 5 . 7
∴ 3 t=8- 5 t， 44
∴ t=4．
∴ 当 t 为 4 秒时，点 E 在∠ BAC 的平分线上．
（2）如图，连接 OE，PC．
S 四边形 OPEG=S△ OEG+S△ OPE=S△ OEG+（S△ OPC+S△ PCE-S△ OEC）
=
1 2
4
4 5
t
3
1 2
3
8
4 5
t
1 2
【解析】
【分析】（1）先根据点 A 在直线 y=2x 上，求得点 A 的坐标，再根据点 A 在反比例函数
y k k 0 的图象上，利用待定系数法求得 k 的值，再根据点 A、B 关于原点对称即可
x
求得点 B 的坐标；
（2）作 BH⊥AC 于 H，设 AC 交 x 轴于点 D，根据 ABC 90 ， BHC 90 ，可得 C ABH ，再由已知可得 AOD ABH ，从而得 C AOD ，求出 tanC
（2）根据 S 四边形 OPEG=S△ OEG+S△ OPE=S△ OEG+（S△ OPC+S△ PCE-S△ OEC）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠ EOC=∠ QOG，可得 tan∠ EOC=tan∠ QOG，推出 EC GQ ，由此构建方程即 OC OG
8
5 4
t
3 5
t
1 2
3
8
5 4
t
= 8 t2 15 t 16(0 t 5) ． 33
（3）存在．
∵
S
8 3
t
5 2
2
68 3
(0
t
5) ，
∴ t= 5 时，四边形 OPEG 的面积最大，最大值为 68 ．
2
3
（4）存在．如图，连接 OQ．
∵ OE⊥OQ，
∴ ∠ EOC+∠ QOC=90°，
∴ ∠ C=60°，在 Rt△ ACD 中，∠ C=60°，AD= ，则 tanC= ，∴ CD=
∴ BC=
．故该船与 B 港口之间的距离 CB 的长为
=， 海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
3．已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，MD∥ BC，且
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥ CD， ∠ ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂 直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出 发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥ AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP， EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
2
16
【解析】
试题分析：（1）由等腰三角形 ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由 BD 为角平分线
求出∠ DBC 的度数，得到∠ DBC=∠ A，再由∠ C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得
到三角形 ABC 与三角形 BCD 相似；
（2）根据（1）结论得到 AD=BD=BC，根据 AD+DC 表示出 AC，由（1）两三角形相似得比
ABE
中，cosA=cos36°=
AE
1
1 4
5
AB 1 5 1
2
5 1
，
4
1 5
在 Rt△ BCE 中，cosC=cos72°= EC 4 1 5 ，
BC 1
4
则 cos36°-cos72°= 5 1 - 1 5 = 1 ．
4
42
【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角
MD MD AMD CMD ， AM CM
∴ △ AMD≌ △ CMD（SAS）； （3）∵ MD=CM， ∴ AM=MC=MD=MB， ∴ MD=2AB， 由（1）可知：△ MED∽ △ BCA，
∴
S1 S ACB
MD AB
2
1， 4
∴ S△ ACB=4S1，
∵ CM 是△ ACB 的中线，
∴ BC=10x，
∴ cos∠ ABC= BC 10x 5 . AB 14x 7
【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与 判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综 合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
∵ BD 平分∠ ABC，
∴ ∠ ABD=∠ CBD=36°，
∵ ∠ CBD=∠ A=36°，∠ C=∠ C，
∴ △ ABC∽ △ BCD；
（2）∵ ∠ A=∠ ABD=36°，
∴ AD=BD，
∵ BD=BC，
∴ AD=BD=CD=1，
设 CD=x，则有 AB=AC=x+1，
∵ △ ABC∽ △ BCD，
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函
数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
2．（6 分）某海域有 A，B 两个港口，B 港口在 A 港口北偏西 30°方向上，距 A 港口 60 海 里，有一艘船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 港口南偏东 75°方 向的 C 处，求该船与 B 港口之间的距离即 CB 的长（结果保留根号）．
即可.
【详解】（1）∵ 点 A (1， a )在 y 2x 上， ∴ a =2，∴ A (1， 2 )，
把 A (1， 2 )代入
y
k x
得k
2，
∵ 反比例函数 y k k 0 的图象与正比例函数 y 2x 的图象交于 A ， B 两点，
x ∴ A、B 两点关于原点 O 中心对称，
∴ B1， 2 ；
4．如图，等腰△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=36°，BC=1，点 D 在边 AC 上且 BD 平分∠ ABC， 设 CD=x． （1）求证：△ ABC∽ △ BCD； （2）求 x 的值； （3）求 cos36°-cos72°的值．
【答案】(1)证明见解析；（2） 1 5 ；（3） 7 5 8 ．
∴ AB BC ，即 x 1 1 ，
BD CD
1x
整理得：x2+x-1=0，
解得：x1= 1 5 ，x2= 1 5 （负值，舍去），
2
2
则 x= 1 5 ； 2
（3）过 B 作 BE⊥AC，交 AC 于点 E，
∵ BD=CD，
∴ E 为 CD 中点，即 DE=CE= 1 5 ， 4
在
Rt△
（2）作 BH⊥AC 于 H，设 AC 交 x 轴于点 D，
∵ ABC 90 ， BHC 90 ，∴ C ABH ， ∵ CA ∥ y 轴，∴ BH ∥ x 轴，∴ AOD ABH ，∴ C AOD ，
∴ tanC tanAOD AD 2 2 . OD 1
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函 数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠ C=∠ AOD 是关键.
【答案】
．
【解析】
试题分析：作 AD⊥BC 于 D，于是有∠ ABD=45°，得到 AD=BD= ，求出∠ C=60°，根据 正切的定义求出 CD 的长，得到答案． 试题解析：作 AD⊥BC 于 D，∵ ∠ EAB=30°，AE∥ BF，∴ ∠ FBA=30°，又∠ FBC=75°，
∴ ∠ ABD=45°，又 AB=60，∴ AD=BD= ，∵ ∠ BAC=∠ BAE+∠ CAE=75°，∠ ABC=45°，
∴ △ DOC∽ △CD OD
∴ 6 10 8 ， 3 CD OD
∴ CD=5（cm），OD=4（cm），
∵ PB=t，PE⊥AB，