【2020】人教版中考数学《锐角三角函数》专题及答案一、选择题1. 如图，在△ABC 中，CA = CB = 4，cos C=14，则sinB 的值为（▲） A．B．C．D．【答案】D2..如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于（ ） A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx【答案】D【解析】作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选D ． 3．如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点.已知坡角为20°，山高BC ＝2千米.A.B.C. D.BC AB 2sin 20sin 20BC.故按键顺序为20°24.已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A 【解析】∵∠α为锐角，且sinα=12，∴∠α=30°．故选A.5.矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B （32，2），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，下列结论：①OA=BC=32；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP 是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D 的坐标为(332,0)，其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个【答案】D 【解析】已知B （32，2），所以OA=BC=32，故①正确；当点D 运动到OA 的中点处时，OD=3，而OC=2，所以OC 2=7，在直角三角形CPD 中，PC 2+PD 2=7，故②正确；过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，所以在运动过程中，∠CDP 是一个定值，故③正确；当△ODP 为等腰三角形时，OC ⊥BD ，∠CDO=60°所以3OD OC，即OD=332，所以点D 的坐标为(332,0).6. 如图，在△ABC 中，CA = CB = 4，cos C=14，则sinB 的值为（▲） A．B．C．D．【答案】D【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cosC=14，AC=4，∴CD=1，∴BD=3，AD=B224115-=，在Rt △ABD 中，AB=22(15)326+=，∴sinB=151026AD AB ==，故选D.7.2sin60°的值等于(A) 1 (B)2(C)3(D)2【答案】C 【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=321，再乘以2，可得答案C.8.如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB=m ，∠BAC=∠α，下列结论错误的是（） A. ∠BDC=∠α B.BC= m·tanα C.AO=2sin m α D.BD=cos m α【答案】C ．【解析】由锐角三角函数的定义，得s inα= 2BC OA ，∴AO=2sin BCα，故选C ．9.如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO ＝50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64） 【答案】1.02【解析】∵∠ABO ＝70°，AB ＝6m ，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO ＝5.64（m ），∵∠CDO ＝50°，DC ＝6m ，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO ＝4.62（m ），则AC ＝5.64﹣4.62＝1.02（m ），答：AC 的长度约为1.02米．故答案为：1.02．10.在直角三角形ABC 中，若2AB=AC 则cosC=___________.【答案】或【解析】若∠B=90°，设AB=x ，则AC=2x ，所以BC==x ，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x ，则AC=2x ，所以BC==x ，所以cosC===；综上所述，cosC 的值为或．故答案为或．αm ODB C A11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝12BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.【答案】9 2a【解析】∵BC＝a,∴CF＝12BC＝12a,∴BF＝32a∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BF,DE＝12a,∴△MED∽△MFB,∴MD EDMB FB=,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝12a,MB＝32a,∵MB＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝92a.12.如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.如图1，当CD＝12AC时，13tan;4α=如图2，当CD＝13AC时，25tan;12α=如图3，当CD＝14AC时，37tan;24α=……依次类推，当CD＝11ACn+（n为正整数）时，tan nα=……【答案】21.2(1)n n n ++【解析】当n ＝1时，133tan ;414α==⨯当n ＝2时，255tan ;1226α==⨯当n ＝3时，377tan ;2438α==⨯……∴2121tan .(22)2(1)n n n n n n n α++==++13.如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ，53cos =C .则AB 边的长为▲.【答案】165【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，53cos =C ，AC ＝2，∴DC=35×2=65，85AD ，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠B ＝30°．∵sin B=12AD AB =，AB =2AD=165．14.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为_________．【答案】32【解析】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，∴AC=22512=13，∵△ABC绕点A旋转到△ADE，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan∠ECD=ED DC=128=32，故答案为：32.15.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)=.【答案】【解析】连接BC，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，∴△ADE≌△BEC，∴∠EBC=α.∵∠BEC=1200，BE=CE，∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=√3a，在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√7a.∴cos∠ABC=BCAB =√3a√7a=√217.又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，∴cos(α+β)=√217.三、解答题16.如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行.在C 处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120m，BD=80m，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）.（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910）【解题过程】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ， 则//CE DF ，//AB CD Q ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =， 在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒Q ，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈g ，1785sin3280322BF BD =︒=⨯≈g ，1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒Q ，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=g ，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为134m ．17. 图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A 点处，手柄长AB ＝25cm ，AB 与墙壁D D '的夹角∠D 'AB ＝37°，喷出的水流BC 与AB 行程的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE ＝50cm ，CE ＝130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【解题过程】过B 点作MN ∥DE ，分别交直线AD 和直线EC 于点M 、N ，由题意可知AD ∥CE ，∠ADE ＝90°∴四边形DMNE 为矩形，∴∠AMB ＝∠BNC ＝9 0°，MN ＝DE ，MD ＝NE ．在Rt △ABM 中，∠D AB ＝37°， sin ∠MAB ＝MBAB ，∴MB ＝AB ·sin37°＝25×0.6＝15，cos ∠MAB ＝AMAB ，∴AM ＝AB ·cos37°＝25×0.8＝20，∵MN ＝DE ＝50，∴NB ＝50－15＝35，∵∠ABM ＝90°－37°＝53°，∠ABC ＝72°，∴∠NBC ＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN ＝90°－55°＝35°．在Rt△BNC 中，tan ∠BCN ＝BN CN ，∴CN ＝350.75＝50，∴EN ＝CN+CE ＝50+130＝180＝MD ，∴AD ＝MD －AM ＝180－20＝160（cm ）．答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm 高的位置．18.如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ．连接MD ，MG ，MB ．(1)试证明DM ⊥MG ，并求MBMG 的值；(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中MBMG 的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．D'图10DCBAD'NM 图10D CBA解：(1)延长GM交DE于H，∵EF的中点M，∴EM＝FM，∵正方形ABDE、正方形BCFG，∴AB∥DE∥GF，∴∠HEM＝∠GFM，在△EHM和△FGM中，==AMH FMGEM FMHEM GMF⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△EHM≌△FGM(ASA),∴HM＝MG，GF＝EH，∵AB＝2BC，∴GF＝EH＝DH＝DG，∴DM是△HDG底边上的中线，∴DM⊥MG；设AB＝4，BC＝2，易求MB＝12EF=MG＝BC，∴MBMG(2)MBMG比值会随着α的变化而变化，理由如下：连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EA T＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α∴四边形TBFD为矩形∴DF＝TB∵G为BD的中点∴MG＝11 22 DF TB=由题设AB＝2，BC＝1∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα∴DF＝TB＝2sinαMG＝1122DF TB=＝sinα在RT△EBF中由勾股定理得EF∴===图2图1A B CDEFMGA B CDEFMG图2图1A B CDEFMGA B CDEFMGQT图2图1A B CDEFMGA B CDEFMGQT∴MB ＝2EF∴MB MG＝sin α=第二批二、填空题19.在ABC ∆中90C ∠=︒，tan A =，则cos B =．【答案】12【解析】解：Q 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =，设a =，3b x =，则c =，1cos 2a B c ∴==． 故答案为12． 【知识点】特殊角的三角函数值20.如图，在△ABC 中，sinB ＝，tanC ＝，AB ＝3，则AC 的长为 ．【答案】【解题过程】过A 作AD ⊥BC ，在Rt △ABD 中，sinB ＝，AB ＝3，∴AD ＝AB •sinB ＝1，在Rt △ACD中，tanC ＝，∴＝，即CD ＝，根据勾股定理得：AC ＝＝＝，故答案为：．【知识点】解直角三角形21.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA= ___________．【答案】45【解析】根据正弦的定义直接求解，sinA=45BC AB =，故答案为45．【知识点】锐角三角函数22.如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan ∠APD=.答案：2解析：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和三角函数的概念等，由正方形ABCD 和点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，易证△ABE ≌△BCF,证得AE ⊥BF,延长BF 交AD 的延长线于点G,可证△BCF ≌△GDF,∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质AD=DP=21AG,∴∠APD=∠DAE=∠AEB ，∴tan ∠APD=tan ∠AEB=2.因此本题填2．三、解答题23..如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为BC 上一点，5AB =，1BD =，3tan 4B =． （1）求AD 的长；（2）求sin α的值．解：（1）3tan 4B =Q ，可设3AC x =，得4BC x =，222AC BC AB +=Q ，222(3)(4)5x x ∴+=，解得，1x =-（舍去），或1x =，3AC ∴=，4BC =，1BD =Q ，3CD ∴=， 2232AD CD AC ∴=+=； （2）过点作DE AB ⊥于点E ，3tan 4B =Q ，可设3DE y =，则4BE y =，222AE DE BD +=Q ，222(3)(4)1y y ∴+=，解得，15y =-（舍)，或15y =，∴35DE =，1sin 210DE AD α∴==【知识点】解直角三角形的应用 24如图，在A 处的正东方向有一港口B ．某巡逻艇从A 处沿着北偏东60︒方向巡逻，到达C 处时接到命令，立刻在C 处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B ．求A ，B 间的距离．(3 1.73≈，2 1.4≈，结果保留一位小数）．【解题过程】解：过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，则60ACD ∠=︒，45BCD ∠=︒，如图所示． 在Rt BCD ∆中，sin BD BCD BC ∠=，cos CD BCD BC ∠=，2sin 20342BD BC BCD ∴=∠=⨯⨯≈g ，2cos 20342CD BC BCD =∠=⨯⨯≈g ；在Rt ACD ∆中，tan ADACD CD ∠=，tan 42372.2AD CD ACD ∴=∠=⨯≈g ．72.242114.2AB AD BD ∴=+=+=．A ∴，B 间的距离约为114.2海里．。