姓名学生姓名填写时间2016-12-7学科数学年级高三教材版本人教版阶段第（ 48 ）周观察期：□维护期：□课题名称排列组合课时计划第（）课时共（）课时上课时间2016-12-8教学目标大纲教学目标1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．2、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．个性化教学目标体会分类讨论的思想教学重点1、正确区分排列与组合,熟练排列数与组合数公式2、能熟练利用排列数与组合数公式进行求值和证明.教学难点分类讨论思想的灵活应用教学过程问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法一、分类计数原理完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有12nN m m m=+++种不同的方法说明：1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.第一部分：计数原理又称乘法原理一、问题引入问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法问题2：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数问题1和2的共同点是什么二、排列1、对排列定义的理解.定义：一般地，从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2、相同排列.如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. 3、排列数.从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.用符号m nA 表示.且有：nn A第二部分：排列正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n!表示，所以n 个不同元素的全排列公式可以写成：nn A n!= , 规定0! = 1，所以A n 0＝1。

注意：m nn!A (n m)!=- 11--=m n m n nA A !)!1(!n n n n -+=⋅例1、A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如下：换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .练习2：四人A 、B 、C 、D 坐成一排，其中A 不坐在排头，写出所有的坐法． 解：例2设a ∈N *，且a ＜27，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于( ) A ．A 27－a 8B ．A 34－a27－aC ．A 34－a 7D ．A 34－a8解析： 8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.练习1：解不等式：A 8m ＋2＜6A 8m.解析： 原不等式可化为8！8－m －2！＜6·8！8－m ！，化简得m 2－15m ＋50＜0，即(m －5)(m －10)＜0，解得5＜m ＜10，又⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤8m ≤8，即m ≤6，所以m ＝6.练习2：计算 (1)A 95＋A 94A 106－A 105；(2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！.(3)2A 85＋7A 84A 88－A 95；(4)A n －1m －1·A n －mn －mA n －1n －1.[解析] (1)方法一：A 95＋A 94A 106－A 105＝5A 94＋A 9450A 94－10A 94＝6A 9440A 94＝320. 方法二：A 95＋A 94A 106－A 105＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320. (2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n!＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.(3)2A 85＋7A 84A 88－A 95＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1. (4)A n －1m －1·A n －mn －mA n －1n －1＝n －1！[n －1－m －1]！·(n －m )！·1n －1！＝n －1！n －m ！·(n －m )！·1n －1！＝1.例3、求证：A n ＋1m－A n m＝m A nm －1.[解析] 证法一：A n ＋1m－A n m＝n ＋1！n ＋1－m ！－n ！n －m ！＝n ！n －m ！⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！n －m ！·m n ＋1－m ＝m ·n ！n ＋1－m ！＝m A n m －1. 练习：求证：A n ＋1n ＋1＝A n ＋1n ＝(n ＋1)A n n证明： ∵An ＋1n ＋1＝(n ＋1)×n ×(n －1)×…×3×2×1，An ＋1n＝(n ＋1)×n ×(n －1)× (3)2，(n ＋1)A n n＝(n ＋1)×n! ＝(n ＋1)×n ×(n －1)×…×3×2×1，∴An ＋1n ＋1＝A n ＋1n ＝(n ＋1)A n n.巩固练习：1、某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别赛一次，共进行多少场比赛故符合题意的六位数共有A 66－2A 55＋A 44＝504(个)．方法二(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A 55个；第二类，当个位不排0时，有A 41A 41A 44个．故共有符合题意的六位数有A 55＋A 41A 41A 44＝504(个)．(3)①当千位上排1,3时，有A 21A 31A 42个．②当千位上排2时，有A 21A 42个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A 31个；形如41××的有A 21A 31个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数，故共有A 21A 31A 42＋A 21A 42＋2A 31＋A 21A 31＋2＝110(个)．题后感悟：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．一、问题引入问题3：从3名同学中选出2名的可能选法是多少问题4：区别问题1与问题3的不同点。

第二部分：组合含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面共有3C 53种取法；含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类计数原理，与顶点A 共面三点的取法有3C 53＋3＝33种．(2)间接法：如图，从10个点中取4个点的取法有C 104种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C 64＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C 104－(60＋6＋3)＝141(种)．例5 在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，（1）有多少种不同的抽法（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种 （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种练习1：(2011·北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析： 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 41＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 42＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 43＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数． 答案： 145、几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++例6 计算：（1）()3101971002100A C C ÷+； （2）3103433C C C +++ ．分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中，310097100C C =，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形4413n n n C C C -=+，求和；另一方面，变形4433C C =，接着453444C C C =+，463545C C C =+…，反复使用公式．解：（1）原式()310133310131013101310131002100A A A ACACC÷=÷=÷+=61133=÷=A ． （2）原式4104114546444533C C C C C C C -++-+-+= 330411==C ．另一方法是：原式310353444C C C C ++++= 31036463103545C C C C C C +++=+++= 330411310410==+==C C C ．说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论：1121++++=++++m n m n m m m m m m C C C C C ．左边==-++-+-+=+++++++++++++1111112131112m n m n m n m m m m m m m m m m C C C C C C C C 右边．例7、计算下列各式的值．(1)3C 83－2C 52； (2)C 10098＋C 200199； (3)C 73＋C 74＋C 85＋C 96； (4)C n 5－n＋C n ＋19－n.[解题过程] (1)3C 83－2C 52＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)C 10098＋C 200199＝C 1002＋C 2001＝100×992×1＋200＝5 150. (3)原式＝C 84＋C 85＋C 96＝C 95＋C 96＝C 106＝C 104＝210. (4)由{ 5－n ≤n5－n ≥09－n ≤n ＋19－n ≥0⇒4≤n ≤5.∵n ∈N *，∴n ＝4或5.当n ＝4时，原式＝C 41＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 50＋C 64＝16.练习1：计算：(1)C 85＋C10098·C 77；(2)C 5＋C 51＋C 52＋C 53＋C 54＋C 55；(3)Cn ＋1n ·Cnn －1.解析： (1)原式＝C 83＋C 1002×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 50＋C 51＋C 52)＝2(C 61＋C 52)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)方法一：原式＝C n ＋1n·C n 1＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .方法二：原式＝(C n n＋C nn －1)·C n n －1＝(1＋C n 1)·C n 1＝(1＋n )n ＝n 2＋n .练习2：(1)已知1C 5m －1C 6m ＝710C 7m ，求C 8m . (2)解方程：C x ＋2x －2＋C x ＋2x －3＝110A x ＋33. [解] (1)原方程变形为m ！5－m ！5！－m ！6－m5－m ！6×5！＝7m ！7－m 6－m 5－m ！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝7－m 6－m 60，即m 2－23m ＋42＝0，(2)原方程可化为C x ＋3x －2＝110A x ＋33，即C x ＋35＝110A x ＋33， ∴x ＋3！5！x －2！＝x ＋3！10·x ！，∴1120x －2！＝110·x x －1·x －2！，∴x 2－x －12＝0 解得x ＝4或x ＝－3。