对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不 相邻可同色.
法2根据用色多少分类法.
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题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，…，a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
步计数原理知：满足条件的排列数为
A
4 4
A
4 5
＝2 880.
(3)先排a5，a6，a7，a8，×
×
×
×；共有
A
4 4
种排
法 ； 然 后 排 a1 ， a2 ， a3 ， a4 □×□×□×□×中的□共有2
排 A
在 ×□×□×□×□ 或
4 4
种排法；；根据分步计
数原理共有
A
4 4
×2
A
4 4
＝1
152种排法．
m1+m2+……+mn有种不同的方 有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。 能完成这件事。
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3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？ 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事 需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种 方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可 以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3 ＝180种涂色方法．
件的排法共有
＝1 440种不同排法．
(3)甲、乙2人先排好，有 种排法，再从余下5人中选3人排
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法， 若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 ) n!
C m n(n1)n (2)(nm 1)
n n!
m !
(nm)!
-
nm!m!
4。解排列组合问题基本思路
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解法二（分类法）：20完1成1高涂色考的导方法航分为两类，第一类：
四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不
相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法．
由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)． 方法总结：
(3)前后排问题，直排法.
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变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？ (4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？ (5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)
计数原理与排列组合
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一。复1、习知回识顾结构
排列 基
本
原 理 组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
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2。步记数原理
原理 区别
完成一件事可以有n类
完成一件事需要分成n个
办法，在第一类中有m1种不 步骤，第一步有m1种不同的 同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的 种不同的方法，……，在第 方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方 不同的方法，那么完成这件 法，那么完成这件事共N= 事共N=m1×m2×……×mn
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解答：(1)（捆绑法）先将a1，a2，a3，a4四个元素看成一
个元素与a5，a6，a7，a8排列一排，有A
5 5
种排法，再排a1，
a2，a3，a4有
A
4 4
不同排法，根据分步计数原理知满足条件
的排列数为
A
5 5
A
4 4
＝2 880.
(2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四个元素排成一排，
有a8间A 隔44 种及排两法端；的再五将个元位素置a1中，的a2四，a个3，，a有4插A 入54 种由排a法5，，a6根，据a7，分
(4)前排有 A
4 8
种排法，后排有A
4 4
种排法，由分步计数原
理知共有A
4 8
A
4 4
＝8！种排法．
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方法总结 （1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这
几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排 列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。
（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通 元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出 若干个空挡插入这些特殊元素。
获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).
方法小节： 解决“允许重复排列问题”常用“住店法”，要 注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不 能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的 元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
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二、题型与方基法础知识梳理
题型3 涂色问题 【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、
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解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共
有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排
好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素
的全排列，应有A 55种排法，由分步计数的原理,有 种不同排法．
＝720
(2)先将男生排好，共有 种排法，再在这4个男生的中间
及两头的5个空档中插入3个女生有 种方案，故符合条
题排 列 组 合 问
有序 排列 分类或分步 无序 组合 分类或分步
直接法 不易解
间接法 不易解
直接法
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题型2 可重复元素排列问题 【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比 赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少 种？ 解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．