uin1 uin1
t
x 2
(uin1
uin 1
uin 1
uin1 )
精度：O (t 2 , x 2 , ( t )2 )
x
稳定条件： t
x |c |
1
3. 时间前差，空间中心差分的显格式
uin 1
uin
ct 2x
uin1 uin1
t
x 2
(uin1
2uin
uin1 )
精度： O (t , x 2 )
耗散性和色散性对于对流方程的差分格式的稳定性具有重 要的影响，而理想（磁）流体方程具有与对流方程相似的形式， 同属于双曲型方程，故设计格式时须注意耗散性及色散性
4 . 1 差分格式
1. 迎风格式
仅对对流项
ct
uin 1
uin
t
x 2
(uin1
2uin
uin1 ) cxt
x
uin uin1 uin1 uin
精度：O(t, x )
稳定条件： t
x 2
2 c x
(c>0) (c<0)
2. 蛙跳（leapfrog）格式
uin1
uin 1
ct x
n1
U
i
2 1
2
1 2
(U
n i 1
U
n i
)
t x
(F n i 1
F n ) i
U
n i
1
U
n i
t x
n1
(F i
1
2
2
n1
F i
1
2
)
2
格式4、5的时间精度均为二级。
特别是碰到激波时，守恒格式能使激波关系较为精确地满 足，因此在激波的计算中应首先考虑使用守恒型格式。
12
5. 说明
对流方程的差分格式
对任一物理量U=U(x,t) ，若能写成
U • F 0 t
则称U为守恒型变量，F为其通量（密度），形如此方 程者为守恒型方程
7
质量守恒 动量守恒 能量守恒
磁通守恒 涡旋守恒
•V V • 0
t
• V 0
t
U • F 0 t
U F V
U V
F (p B 2 )I VV 1 BB ( 2 ') •VI (V VT )
稳定条件：t
x 2 min(
2
,
2
c2
)
4. Lax-Wendroff格式
uin 1
uin
ct 2x
uin1 uin1
c 2t 2x
2 2
t
x 2
uin1
2uin
uin1
精度：O (t, x 2 ) 稳定条件：t
2 c 2 x 2
c2
2
5. Crank-Nicholson格式
U
n i
1
பைடு நூலகம்
U
n i
t x
(F i
1
2
F i
1
)
2
半格点值由插值得到
N
U
n i
1
i 1
N
U
n i
i 1
t x
(F N
1
2
F1 )
2
若体系与外界无交换，则
F N
1
F1
0
2
2
N
N
U
n i
1
U
n i
i 1
i 1
9
差分格式子类
半格点插值公式的选取
若干子类
1. 欧拉显格式
F i
1
2
1 (F n 2i
3 若维持有关欧拉格式
的空间微商的差分形式
不变（简记为Ld），则 我们可引入龙格－库塔
(Runge-Kutta)格式，其 时间差分精度为4阶（只
是内存占用量大）
K 0 tLd (u n ,tn )
K1
tLd (u n
1 2
K
0
,tn
1 2
t )
K2
tLd (u n
1 2
K 1 , tn
1 2
t )
t
x 2
(uin11
2uin 1
un 1 i 1
)
精度：O(t, x 2 ) 稳定条件：恒稳
可对对流项及扩散项分别采用不同的格式
3
非线性Burgers方程
为N-S方程的一个较好的模型方程
u t
f (u) x
2u x 2
自行尝试各种格式 对于特殊选定的初始值和边界条件，及特别的函数f，可得准确解
20
0
3
U 1 V2 B 2 p
2
20 1
F (1 V2 p )V 1 (E B) ( 2 ')( • V)V V • V V2 )
2
1 0
3
2
U B
F VB BV B 0
U ΩV
F VΩΩV 1 (JB BJ)
8
差分格式
从守恒型方程出发设计的格式具有总体守恒的特性， 故称为守恒型格式，如该方程可写为
Fi
n 1
Fi
n 1
)
相当于
F
i
1
2
x 2t
(U
n i 1
U
n i
)
1 (F n 2i
Fn ) i1
4. 蛙跳－梯形格式
蛙跳步
U
n i
1
U
n i
1
2t x
(F n i
1
2
Fn i
1
)
2
梯形步
U
* i
1 2
(U
n i
U
n i
1
)
U
n i
1
U
n i
t x
(F * i
1
2
F* i
1
)
2
11
5. Lax-Wendroff格式 (等价于半步长Lax＋半步长蛙跳)
Fn ) i 1
F i
1
2
7 (F n 12 i
F n ) 1 (F n
i 1
12 i 1
Fn ) i 2
二阶 四阶
2. 欧拉全隐格式
F i
1
2
1 (F n 1 F n 1 )
2i
i 1
精度：O (t , x 2 )
10
3. Lax格式
U
n i
1
1 2
(U
n i 1
U
n i 1
)
t 2x
(
设 f =u2/2，定解域为 0 x L, t 0, 边界值 u(0, t)=u0, u(L, t)=0
定常问题的准确解：
u(x )
u
0u
1 1
expu expu
Re Re
L L
( (
x L x L
1) 1)
其中 ReL
u0L
u u
1 1
exp(uReL
)
4
时间微商的差分逼近
上述差分方法中在对时间偏微分时，只分为 1 单步二层格式（前向差分）一阶精度 2 蛙跳格式 （中心差分）： 二阶精度
K 3 tLd (u n K 2 ,tn t )
u n 1
un
1 6
(K
0
2K 1
2K 2
K 3 ) O (t 5 )
5
范例
u c u 0
t
x
u t
Ld
若对空间微商采用中心差分，即Ld
(ui
)
c 2x
(ui 1
ui 1 )
则龙格－库塔格式为
K 0i tLd (uin )
K 1i
tLd (uin
1 2
K
0i
)
K 2i
tLd
(u
n i
1 2
K
1i
)
K3
tLd
(u
n i
K 2i )
u
n i
1
uin
1 6
(K
0i
2K 1i
2K 2i
K 3i ) tO(t 4 , t 2x 2 , x 4 )
稳定条件：
t 2 2x
c
6
守恒型与非守恒型
作为源方程的方程组可以有不同的解析形式，如欧 拉形式与拉格朗日形式，守恒形式与非守恒形式，积分 形式与特征形式等。不同形式的源方程在解析分析中完 全等效，但在数值计算方面则不尽然。
uin1 uin
ct 4x
u n 1 i 1
u n 1 i 1
uin1
uin1
t
2x 2
(uin11
2uin1
u n 1 i 1
uin1
2uin
uin1)
精度：O (t 2 , x 2 ) 稳定条件：恒稳
6. 全隐格式
uin 1
uin
ct 2x
un 1 i 1
un 1 i 1