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Байду номын сангаас
解 (1)寻找规律： 第一个图需棋子6＝3×2， 第二个图需棋子9＝3×3， 第三个图需棋子12＝3×4， 第四个图需棋子15＝3×5， ∴第五个图需棋子3×6＝18. ∴第5个图形有18颗黑色棋子． (2)由(1)可得，第n个图需棋子3(n＋1)枚 设第n个图形有2 013颗黑色棋子， 则3(n＋1)＝2 013 ，解得n＝670. ∴第670个图形有2 013颗黑色棋子.
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课 时 跟 踪 检 测
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(2)如图2，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝ BC＝CD＝AD＝2. ∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC， PH⊥AD， ∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG
图2
是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩 形， ∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE， ∴PE＋PF＋PG＋PH＝AH＋BE＋HD＋AE＝AD＋ AB＝4.故答案为4. (3)设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
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(3)拓展不延伸 若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离 为r1，r2，…，rn，请问r1＋r2＋…＋rn是否为定值(用含n的式 子表示)，如果是，请合理猜测出这个定值．
解
(1)如图1，分别连接AP，BP，
CP，作AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝
专题三 归纳猜想问题
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专 题 解 读
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考情透析 归纳猜想问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出 一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出不图形 有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认 真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或 猜想出一般性的结论．考查学生的归纳、概括、类比能 力．有利于培养学生思维的深刻性和创造性.
2 1 2 解析 ∵S1＝2a，∴S2＝ ＝ ，∴S3＝ ＝2a，S4＝ S1 a S2 1 1 1 a，„，∴S2 012＝a.故答案是a.
答案 1 a
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二、图形归纳猜想题
此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形 的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．其解题关键 是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系．
AC＝2，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝30°，∴BD＝1，
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图1
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得∴AD ＝ 3， ∵S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC. 1 1 1 1 ∴ AB·r1＋ BC·r2＋ AC·r3＝ BC 2 2 2 2 ×AD， ∵BC＝AC＝AB，∴r1＋r2＋r3＝AD. ∴r1＋r2＋r3＝ 3.
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【例题2】 (2012· 浙江宁波)用同样大小的黑色棋子 按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图形有多少黑色棋子？
(2)第几个图形有2 013颗黑色棋子？请说明理由．
分析 (1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其 中的规律，即可得出答案． (2)根据(1)所找出的规律，列出方程，即可求出答 案．
似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另 一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象
在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力．
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【例题 4】 (2012· 浙江一模)阅读材料：如图，△ABC 中，AB＝AC，P 为底边 BC 上任意一点，点 P 到 两腰的距离分别为 r1，r2，腰上的高为 h，连结 1 1 AP， S△ABP＋S△ACP＝S△ABC， 则 即：AB·1＋ AC·2 r r 2 2 1 ＝ AB·h，∴r1＋r2＝h. 2
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一、数式归纳猜想题
这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的 共性规律，写出一个一般性的结论．找出题目中规律，即丌变的和变 化的，变化的部分不序号的关系是解这类题的关键．
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【例题 1】 (2012· 浙江金华五模)已知 a≠0, S1＝2a， 2 2 2 S2＝ ，S3＝ ，„，S2 012＝ ，则 S2 012＝ S1 S2 S2 011 ________(用含 a 的代数式表示)．
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(1)理解不应用 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三 角形内任一点”，即：已知边长为 2 的等边△ABC 内任意一点 P 到各边的距离分别为 r1，r2，r3，试证
明：r1＋r2＋r3＝ 3. (2)类比不推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 ________；
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(3)设正 n 边形的边心距为 r，且正 n 边形的边长为 2， 2r ∴S 正 n 边形＝ ×n. 2 1 1 1 1 ∵S 正 n 边形＝ ×2×r1＋ ×2×r2＋ ×2×r3＋„＋ ×2 2 2 2 2 ×rn， 1 1 1 1 2r ∴ ×2×r1＋ ×2×r2＋ ×2×r3＋„＋ ×2×rn＝ 2 2 2 2 2 ×n， ∴r1＋r2＋„＋rn＝nr(为定值)， 180° ∵r＝tan90°－ . n 180° 所以定值为 ntan90°－ . n
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三、结论归纳猜想题
结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况．发 现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键．
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【例题3】 (2012· 浙江金华一模)如 图，一只青蛙在圆周上标有数字 的五个点上跳，若它停在奇数点 上，则下次沿顺时针方向跳两个 点；若停在偶数点上，
则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开 始跳，则经过2 012次后它停在哪个数对应的点上
(
A．1 B．2 C．3 D．5
)
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解析 第1次跳后落在2上；
第2次跳后落在1上； 第3次跳后落在3上； 第4次跳后落在5上； … 4次跳后一个循环，依次在2，1，3，5这4个数上循环， ∴2 012÷4＝503，∴应落在5上．故选D.
答案
D
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四、类比归纳猜想题
类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相
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思路分析 解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验 证)”，具体做法：
1.认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间
的关系； 2.根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性 和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论； 3.结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.
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专 题 突 破