南昌大学 2021～2021学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032(A)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系 08各专业姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一 二 三 四五六七八九十总分 累分人题分484012100签名得分考生考前须知： 1、本试卷共 5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。

如有举手报告以便更换。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题 (每题4分，共48分)得分评阅人1.设i 为虚数单位，复数1 2i/(2 i)__ ; ln(1 i3) 。

2.设i 为虚数单位，且x 和y 为实数，复变函数 f(z) xiy __ (填“是〞或“不是〞)可导的，理由是3. x 2 y 2是否有可能为某解析函数 f(z)的实部？答：__ (填“有可能〞或“不可能〞)，理由是4. 1 [(x 2 1)tan(sinx)(x)]dx 。

20213e z20215. 根据柯西公式，积分z dz|z2021|3 20216. 函数f(z)z 2z 阶极点；在极点处的留数z 2有________个极点，为__________3z4为________________________。

第1页共28页7.当1|z| 2,试以原点为中心将1 做级数展开为z 2 3z21(0 t 1)8. f(t)1( 1 t0)的傅里叶变换为 。

(|t|1)9. 1t 2te t 的拉普拉斯变换为 。

数学物理方程如果没给定解条件，一般会有__________个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的____________，____________，__________。

一根两端(左端为坐标原点而右端xl 〕固定的弦，用手在离弦左端长为l/6处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移u(x,t)的初始条件为。

12.偏微分方程u xx2u xy 4u yy 5u x 7u y 3xy 9 0的类型为 (备选答案：A.双曲型B.抛物型C. 椭圆型D. 混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为 。

二、求解题(每题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。

1.用留数定理计算复积分Idz。

|z2|3z(z2)(z4)第2页共28页cosx2.用留数定理计算实积分 I9x 2dx 。

可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解以下常微分方程初值问题d 2y 3 dy 2y t1,y'(0)2.dt 2dt e,y(0)拉普拉斯变换nstn!n n!L[te]ps n1，L[t]p n1。

第3页共28页4.设X(x)满足方程X X0和边界条件X'(0)X(/2)0，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。

第4页共28页三、数学物理定解问题(共12分)1.考查无限长弦定解问题：u tt4u xx cost(t0)，且初始条件为ut0sinx，u t0。

先寻找泛定方程的一个特解v,再作变换uv w,使得t0w的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。

第5页共28页南昌大学2021～2021学年第二学期期末考试试卷试卷编号：6032(A)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系09级姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人题分22123630100签名得分考生考前须知： 1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。

如有立即举手报告以便更换。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共22分)得分评阅人1.，辐角。

2.假设函数可导，必满足条件，这个条件的数学表达式为。

3.解析函数的实部和虚部被称为共轭调和函数，满足方程，且对应的两组曲线族相互间。

4.幂级数的收敛圆为。

5.。

6.根据柯西公式，积分。

7.设为的傅立叶变换像函数，那么的傅立叶变换像函数为_______________________。

第6页共28页适定的数学物理定解问题的解存在而且是______________和______________。

双边幂级数的收敛区域为_____形区域，其主要局部为__________________。

10.为的单极点，那么为__________________。

11.泛定方程别离变数后三个变量满足的方程分别为。

二、选择判断题(每题2分，共12分)得分评阅人说明：以下均为单项选择题。

请选择正确或最适宜的选项。

1.解析函数的实部，那么的导数在的取值______。

A)B)C)D)2.以下二阶线形微分方程中，的形式为标准形式。

A)B)C)D)3.为的。

A)单极点B)二阶极点C)三阶极点D)四阶极点叠加原理适用于_____________数学物理问题。

A)线性的B)齐次的C)线性齐次的D)所有的5.假设洛朗展开级数中存在的负幂项，那么展开中心是被展开函数的奇点。

这个结论。

第7页共28页A)正确B)错误复连通区域内的回路积分是否等于零肯定不能用单连通区域上的柯西定理直接判断。

以上说法。

A)正确B)错误三、复变函数(每题12分，共36分)得分评阅人1.函数，试判断是的几阶极点，然后计算、和在的留数，再利用所得结果给出在的邻域上洛朗展开级数的前三项。

(注意：此题亦可用的泰勒展开直接求出的洛朗展开的前几项，然后利用所得结果求出留数。

)第8页共28页2.求函数的奇点所在的位置，然后计算积分。

3.，首先将看作常数，求的拉普拉斯变换函数，然后利用所得结果和留数定理计算积分的拉普拉斯变换函数，最后对反演计算。

注意此题中满足。

〔注意：假设未计算及其反演，而直接用留数定理计算可算做局部完成〕。

第9页共28页四、数学物理方程(每题15分，共30分)得分评阅人说明：此题中的问题假设未按题目要求用其它方法求解，将根据所用方法和完成情况给分。

考查下面的无限长弦的振动问题：其中。

(1)试用别离变数或其它方法找到方程的一个特解；利用该特解将问题中的方程化为齐次方程，并给出相应的初始条件；利用达朗贝尔公式求解，之后确定。

第10页共28页2.复变量函数为解析函数，其实部满足下面的条件，(1)试给出所满足的数学物理定解问题；(2)试用别离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解；(3)根据求出虚部。

第11页共28页—南昌大学考试试卷—【适用时间：2021～2021学年第二学期试卷类型：[A]卷】课程编号：Z5502B011试卷编号：6031教课程名称：数学物理方法师开课学院：理学院考试形式：闭卷填适用班级：物理系10级各专业考试时间：120分钟写栏1、本试卷共6页。

试卷说明：2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

题号一二三四五六七八九十总分累分人题分4555100签名得分考生姓名：考生学号：考所属学院：所属班级：生所属专业：考试日期：填考生写须知1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。

如有立即举手报告以便更换。

2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带等有储存或传递信息功能的电子设备等入场〔包括开卷考试〕，违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。

栏考生承诺本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如假设违反那么愿意接受学校按有关规定处分！考生签名：第12页共28页得分 评阅人 一、填空题：〔每空3分，共45分〕1、复数z 1 i 的指数形式为 。

2021[x2021cosx(x1)]dx2、。

20213、复数z (1 i)/(2 i)可简化为。

4、三维拉普拉斯方程 u 0在直角坐标系中的表达式为________________________。

5、复变函数f(z)u(x,y)iv(x,y)可导的充分必要条件为。

6、在z 1的区域上，复变函数f(z)1/(z 2z)的幂级数展开为_________________________________ 。

7、复积分 ?ze 1/(1z)dz。

|z| 28、在( , )这个周期上，f(x)x/|x|(x0)且f(x)0(x0,)。

该函数可展成的傅里叶级数为f(x)。

9、拉普拉斯变换L[tsin2t]。

10、数学物理方程定解问题的适定性是指___________________。

11、一根两端(左端为坐标原点而右端xl)固定的弦，用手在离弦左端六分之一处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移u(x,t)的初始条件为。

12、偏微分方程2u xx3u xy u yy2yu x 6xu y sin(xy)10的类型为。

13、假设解析函数f(z)的实部为x 2y 2，那么其虚部为，其中C 为常数。

A)2xyC B) 2xyCC)2x2yCD)2x2yC14、复变函数f(z)z 2i。

53有z 4z两个单极点和一个三阶极点B)一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点 C)两个单极点和一个二阶极点 D)一个单极点和一个三阶极点第13 页共 28页15、下面说法正确的选项是。

A〕假设函数f(z)在z点解析，那么函数f(z)在z点可导，反之亦然。

B〕u xy2yu x6xu y uu y u xx是二阶齐线性偏微分方程。

C〕假设洛朗级数中含z z0的负幂项，那么展开中心z0一定是被展开函数的奇点。

D〕函数f(z)1/sin(1/z)在z0处是非孤立奇点。

E〕数学物理方程的定解条件可以没有边界条件但一定要有初始条件。

F〕达朗贝尔公式仅仅适合求解不含边界条件的齐次波动方程u tt a2u xx0的初值问题。

得分评阅人二、求解题：〔1-5题中每题9分，6小题10分，共55分〕1nS(z)、求幂级数(z1)的收敛域及其和函数。

1n0n2d x2、用留数定理计算实积分I。

098cosx第14页共28页3、求f(x)1/(x216)的傅里叶变换。

第15页共28页4、用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题【可能用到拉普拉斯变换L[t n e st] n!(p s)n1】d3y3d2y dyy6e t,y(0)dy|t01,d2y|t0 2.d t 3dt233,dt2dt dt、解偏微分方程utt 16uxxe3x sin2t;t0:uut0。

5第16页共28页6、u xx u yy0,u|x0u|x0有一般解u(x,y)(A n e ny B n e ny)sinnxn1其中A n和B n是与x和y无关的系数。

利用该一般解求解以下泊松方程矩形边界问题u xx u yy sin2x,u|x02,u|x2,u|y02,u|y2sinx第17页共28页南昌大学2021～2021学年第二学期期末考试试卷参考答案与评分标准试卷编号：6032(A)卷课程编号：Z5502B011课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系08各专业姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人题分484012100签名得分考生考前须知： 1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。