全等三角形的性质一、知识回顾1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
用符号“≌”表示，读作：全等。
4、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．5、全等三角形的表示：△ABC和△A'B'C'全等，记作△ABC≌△A'B'C'．通常对应顶点字母写在对应位置上．二、典型例题例1：下列判断正确的是（）A．形状相同的图形叫全等形B．图形的面积相等的图形叫全等形C．部分重合的两个图形全等D．两个能完全重合的图形是全等形分析：要判断选项的正误，要以全等形的概念为依据，结合各选项认真验证，与之相符和是正确的，反之，是错误的．解答：A、如果形状相同而面积不同，则不是全等形，错；B、如果面积相等，而形状不同，则不是全等形，错；C、根据全等形概念，强调是完全重合，错．D、正确．故选D．______________________________________________________ _______________________________例2：在下列各组图形中，是全等的图形是（）分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形．只有选项C能够完全重合，A 中大小不一致，B，D中形状不同．解答：由全等形的概念可以判断：C中图形完全相同，符合全等形的要求，而A、B、D中图形很明显不相同，A中大小不一致，B，D中形状不同．故选C．______________________________________________________ _______________________________例3：下列说法中，错误的是（）A．全等三角形的面积相等B．全等三角形的周长相等C．面积相等的三角形全等D．面积不等的三角形不全等分析：判断选项是否正确，要根据全等三角形的性质，全等三角形的周长、面积分别相等；而面积相等的三角形不一定重合，即不一定全等，可得选项C 是错误的．解答：全等的三角形一定是能够互相重合的三角形，故全等的三角形面积相等，周长相等，而面积相同的两个三角形不一定能重合，即不一定全等，面积不等的三角形一定不会重合，不会全等．∴根据全等三角形的定义可知A、B、D均正确，C不正确．故选C．______________________________________________________ _______________________________例4：已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A=50°，∠B′=80°，则∠C的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°分析：根据全等三角形的对应角相等，可求得∠B=∠B′=80°；根据三角形内角和定理，即可求得∠C的度数．解答：∵△ABC≌△A′B′C′∴∠B=∠B′=180°∴∠C=180°-∠A-∠B=50°故选C．______________________________________________________ _______________________________例5：如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cmD．以上都不对分析：由△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，知AD和BC 是对应边，全等三角形的对应边相等即可得．解答：∵△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点∴AD=BC=5cm．故选B．______________________________________________________ _______________________________例6：如图△ABC≌△BAD，若AB=9，BD=8，AD=7，则BC的长为（）A．9 B．8 C．7 D．6分析：观察图形根据已知找出对应边，运用两三角形全等的性质得对应边相等可求解．解答：∵△ABC≌△BAD，∴BC=AD=7．故选C______________________________________________________ _______________________________例7：（2003·海南）如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．解答：∵△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E∴EF=BC，∠EAF=∠BAC∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF即∠EAB=∠FACAC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB∴①、②错误，③、④正确故选B．______________________________________________________ _______________________________例8：如图，在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠ABC=（）A．30°B．35°C．45°D．60°分析：运用全等三角形的性质可得出∠C=∠EDA=∠EDB=90°和∠B=∠BAE=∠CAE，从而求出∠B．解答：∵△ADE≌△BDE则∠ADE=∠BDE又∵∠ADE+∠BDE=180°∴∠ADE=∠BDE=90°∵△ACE≌△ADE∴∠C=∠ADE=90°∴∠CAB+∠B=90°又∵△ACE≌△ADE≌△BDE∴∠CAE=∠EAD=∠B=90°/3 =30°故选A．三、解题经验全等形的概念：两个能完全重合的图形是全等形，做题时要严格按照定义去判断。
对于全等三角形的表示我们要会，相等的边、角写在同位置上，等边对等角。
全等三角形的判定一、知识回顾两个三角形全等的条件（1）判定1--边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
（2）判定2--边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
（3）判定3--角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简写为“角边角”或“ASA”。
（4）判定4--角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
简称“角角边”或“AAS”。
（5）直角三角形全等的判定--斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写成“斜边直角边”或“HL”。
二、典型例题例1：（2012·贵阳）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF分析：全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．解答：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中{AB=DE{∠B=∠E{BC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选B．______________________________________________________ _________________________________例2、（2011·西藏）如图，已知∠1=∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（）A．AB=AC B．DB=DC C．∠ADB=∠ADC D．∠B=∠C分析：先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB=AC与∠1=∠2、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．解答：A、∵AB=AC，∴{ AB=AC{ ∠1=∠2{ AD=AD∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；B、当DB=DC时，AD=AD，∠1=∠2，此时两边对应相等，但不是夹角对应相等，故此选项错误；C、∵∠ADB=∠ADC，∴{ ∠1=∠2{ AD=AD{ ∠ADB=∠ADC∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；D、∵∠B=∠C，∴{ ∠B=∠C{ ∠1=∠2{ AD=AD∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确．故选：B．______________________________________________________ _________________________________例3、（2011·泉州）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．分析：根据平行线的性质可知由∠B=∠DEF．BE=CF，∠ACB=∠F，根据ASA定理可知△ABC≌△DEF．证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BC=EF．∵∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF．______________________________________________________ _________________________________例4：（2011·新疆）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE 于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．分析：根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA．证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．______________________________________________________ _________________________________例5、（2005·大连）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C．求证：AE=CF．分析：由AB∥CD，可知∠B=∠D，由AB=CD，∠A=∠C．根据ASA定理可知△ABE≌△CDF，AE=CF．证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D（两条直线平行，内错角相等），又∵AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF（全等三角形对应边相等）．_______________________________________________________________________________________例6、（2003·宜昌）已知：如图，CF=AE，AB∥CD，且AB=CD．求证：△CDE≌△ABF．分析：要证△CDE≌△ABF，就要找出满足两个三角形全等的条件：边角边对应相等．由平行可得两对应角相等，由CF=AE可得AF=CE，全等的条件就具备了．证明：∵AB∥CD，∴∠DCE=∠FAB．∵CF=AE，∴AF=CE，AB=CD，∴△CDE≌△ABF．三、解题经验三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的判定方法为主。